Einführung in die Mathematik II (P/SI)

Letzte Änderung: 09.08.2005

Zentrales Thema der Vorlesung ist die Geometrie. Sie wird in der Primarstufe noch unsystematisch betrieben und steht in starkem Zusammenhang mit Zeichnen und Basteln symmetrischer Figuren und Körpern (Scherenschnitte, Bandornamente).
In der Sekundarstufe I ist die Geometrie eine der Hauptsäulen des Mathematikunterrichts. Leider zeigt die Praxis, dass dieses Thema eher vernachlässigt wird.

Die Schnittmenge des Primar- und Sekundarstufenunterrichts liegt in der Symmetrie und den regelmäßigen Mustern. Das führt uns zunächst zu den regelmäßigen Vielecken, von wo aus man in verschiedene Richtungen verzweigen kann: Das regelmäßige Fünfeck und der Goldene Schnitt, das Quadrat und die Gruppe der Decktransformationen, Parkettierung der Ebene mit regelmäßigen Vielecken. Von hier kann man den Schritt in die 3. Dimension wagen und die Platonischen und Archimedischen Körper betrachten.

Die Kongruenzabbildungen bilden den Hintergrund der betrachteten Themen und werden anschließend näher charakterisiert und untersucht. Dieser Teil wird durch die Ähnlichkeitsabbildungen ergänzt.

Als Betrachtung von höherer Warte werden die Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen mit den Mitteln der linearen Algebra noch einmal behandelt und die bereits gelernten Zusammenhänge wiederholt.

Den Abschluss der Vorlesung bildet ein Ausflug in die fraktale Geometrie. Dieses dient letzlich dazu, die Kernthemen ein drittes Mal aus einer anderen Perspektive zu betrachten.

Zu einer angemessenen Behandlung der Geometrie gehört natürlich, dass man saubere, genaue Konstruktionen selbst mit Zirkel und Lineal anfertigt. Die Hörerinnen brauchen also gutes Zeichnenzeug (Zirkel, Geodreieck).
Andererseits gehört es zu einem zeitgemäßen Unterricht, dass auch dynamische Geometriesoftware einbezogen wird. Eingesetzt wird "DynaGeo Euklid", für das die Universität eine Lizenz hat, die auch die Studentinnen mit einbezieht.
Durch Klicken auf das Bild rechts gelangen Sie auf die Seite von DynaGeo, von wo Sie die Software als Demonstrations-version herunterladen können. In der Vorlesung erfahren Sie, wie Sie über die Universitätslizenz diese in eine uneingeschränkte Version freischalten.

Prüfungstechnisch fällt die Vorlesung in die Stoffgebiete 1 (Grundlagen) und 3 (Geometrie und Topologie ).

Inhaltliche Planung

Thema
Dauer (Wochen)
Regelmäßige Polygone
Konstruktion der Polygone, regelmäßiges Fünfeck und goldener Schnitt
Die Decktransformationen des Quadrates
Parkettierung mit regelmäßigen Polygonen
Geometrie im Raum: platonische und archimedische Körper

1
1
1
1
Abbildungsgeometrie
Kongruenzsätze
Definition der Kongruenzabbildungen Spiegelung, Drehung, Verschiebung
Verknüpfung von Kongruenzabbildungen, Drei-Spiegelungs-Satz
Ähnlichkeit, Ähnlichkeitsabbildungen

1
1
1
1
Lineare Algebra
Punkte, Vektoren und 2x2 Matrizen
Ähnlichkeitsabbildungen und 2x2 Matrizen
Verknüpfung von 2 Abbildungen

1
1
1
Fraktale Geometrie
Was sind Fraktale? Wie werden Fraktale erzeugt?
Fraktale, die durch die Komposition von 3 Ähnlichkeitsabbildungen erzeugt werden.
1
1

Übungen

Es gibt 7 Übungsgruppen:

Zeit
Ort
TutorIn
Montag, 8.00 - 10.00 Uhr MZH 7250 Inga Niehsner
Montag, 10.00 - 12.00 Uhr MZH 7220 Sabrina Schultze
Montag, 13.00 - 15.00 Uhr MZH 7230 Frederik Hagemann
Montag, 17.00 - 19.00 Uhr GW2 A2210 Ronny Fenske
Dienstag, 8.00 - 10.00 Uhr MZH 7230 Julia Hövelmann
Dienstag, 10.00 - 12.00 Uhr MZH 7260 Nina Wawro
Dienstag, 13.00 - 15.00 Uhr MZH 7210 Nina Wawro

Die Hausübungen werden am Mittwoch nach der Vorlesung abgegeben, korrigiert und in der nächsten Übungsstunde (Montag oder Dienstag) zurückgegeben und besprochen.

Material zur Veranstaltung

Woche Thema Information Material Übung Lösung
1 regelmäßige Polygone,
Goldener Schnitt
Höhlengleichnis Übungsblatt 1 Lösungen 1
2 Decktransformationen
von Polygonen
Verknüpfungstabelle
Quadrat
Übungsblatt 2 Lösungen 2
3 Parkettierung regelm.Polygone 2cm Übungsblatt 3 Lösungen 3
4 platonische und
archimedische Körper
Programm "Poly" Übungsblatt 4 Lösungen 4
5 Kongruenzsätze
6 Kongruenzabbildungen Übungsblatt 6 Lösungen 6
7 Verknüpfung von Kongruenzabb. Verkettung von Spiegelungen Spiegelung an 3 Geraden
Spiegelung an 4 Geraden
Übungsblatt 7
Eukliddatei zu Aufgabe 3
Lösungen 7
8 Ähnlichkeitsabbildungen Übungsblatt 8 Lösungen 8
9 Grundlagen analytische Geometrie Script S.1-4 Datei "Abbildungen" Übungsblatt 9 Lösungen 9
10 analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen Formelsammlung Trigonometrie Übungsblatt 10 Lösungen 10
11 Vekettung von Kongruenzabbildungen Skript S. 4-7 Übungsblatt 11 Lösungen 11
12 Iterierte Funktionensysteme und Fraktale Programm für Fraktale (zip) Übungsblatt 12 Lösungen 12
13 Verkettung von Funktionen, Wiederholung

Literatur: Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie, Vieweg-Verlag

Dort "Grundbegriffe der Geometrie" wählen.

Link zu einer ähnlichen Vorlesung: Bender, Uni Paderborn

Link zu meiner Vorlesung aus dem SoSe04 Dort gibt es weitere Übungsaufgaben mit Lösungen.

Klausur

Am Ende des Semesters wird zur Vorlesung eine Klausur geschrieben. Zu dieser Klausur ist jede zugelassen. Über die Übungen während des Semesters kann man Klausurvorleistungen erbringen, d.h. Punkte erreichen, die in der Klausur zählen.

Termin: Dienstag, 12.Juli 2005, 13 - 15 Uhr.
Ort: beide Hörsäle des Hörsaalgebäudes (Keksdose) und SFG 0140
Aufteilung nach Nachname: großer Hörsaal: Aa - Ma, kleiner Hörsaal: Mb - Si, SFG 0140: Sj - Zz
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, Zeichenzeug, 4 handschriftliche Seiten (= 4 einfach beschriebene oder 2 doppelt beschriebene DIN A4 Blätter) "Schummelzettel", müssen mit abgegeben werden
Mitzubringen: Lichtbildausweis, Schreibzeug, Papier

Bei bestandener Klausur erhält man für die Vorlesung einen Leistungsschein.


Informationen zur Klausur aus dem letzten Sommer-Semester

Informationen zur Klausur für dieses Semester