Inhalt:

Partielle Differentialgleichungen sind ein Hauptbestandteil bei der Modellierung von physikalischen, chemischen oder biologischen Phänomenen in mehreren Raumdimensionen bzw. in Raum und Zeit. Sie treten auch oft bei mathematische Fragestellungen in Geometrie oder Variationsrechnung auf.

Die Vorlesung befasst sich mit der Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen und der Abschätzung des Fehlers zwischen kontinuierlicher und diskreter Lösung. Nach einem Kapitel über Finite Differenzen-Verfahren wird die Methode der Finiten Elemente eingeführt. Wir werden zunächst die Anwendung auf elliptische, später auch zeitabhängige Probleme betrachten.

Besonders wichtig ist die Verbindung von Theorie, Numerischer Analysis und Implementierung. Fakten aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen werden meist nur zitiert. Aufbauend auf speziellen anwendungsorientierten Kapiteln der Vorlesung sollen im Praktikum zur Vorlesung die numerischen Algorithmen unter Anleitung umgesetzt werden.

Eine erfolgreiche Teilnahme am Praktikum ist Bestandteil des Scheinkriteriums zur Vorlesung.

Voraussetzungen:

Gute Kenntnisse in Analysis, Linearer Algebra, Numerik 1+2. Kenntnisse in Funktionalanalysis sind von Vorteil.
Für das Praktikum: Kenntnisse in Matlab und einer höheren Programmiersprache, am besten C.

Literatur:

Eine neuere Übersicht über verschiedene Methoden für partielle Differentialgleichungen bieten z.B. die Bücher
Ch. Großmann, H.-G. Roos: Numerik partieller Differentialgleichungen, Teubner 1994.
P. Knabner, L. Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen, Springer 2000.

Aufgabenblätter: (PDF Dateien)

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Gliederung:

• Einleitung
  • Was sind Partielle Differentialgleichungen
  • Partielle Differentialgleichungen in physikalischen Modellen
  • Typeinteilung von part. DGLn zweiter Ordnung
• Elliptische Randwertaufgaben zweiter Ordnung
  • Klassische Lösung
  • Maximumprinzip
• Das Differenzenverfahren für die Poisson-Gleichung
  • Differenzenquotienten
  • Gitterfunktionen
  • Diskretes Maximumprinzip
  • Implementierung und Lösung des diskreten Problems
  • Konsistenz
  • Konvergenz
  • Konvektions-Diffusions-Probleme
  • Upwind-Diskretisierung
  • Diskretisierung am Gebietsrand
  • Differenzenapproximationen höherer Ordnung
  • Extrapolationsverfahren
• Variationsmethoden und schwache Lösungen
  • Variationsformulierung des Poisson-Problems
  • Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung im Sobolev-Raum
  • Schwache Lösungen für lineare elliptische Probleme zweiter Ordnung in Divergenzform
  • Konforme Approximation: abstraktes Galerkin-Verfahren
  • Lösung des diskreten Problems
  • Wahl des diskreten Teilraums
• Finite Elemente auf simplizialen Gittern
  • Simpliziale Gitter
  • Transformation aufs Standardelement, (inverse) Abschätzungen
  • Algorithmen zur lokalen Modifikation des Rechengitters
  • Lokale Verfeinerung durch Bisektion
  • Gitterhierarchien
  • Lagrange-Elemente auf Simplizes
  • Interpolationsabschätzungen
  • Fehlerabschätzungen für lineare elliptische Probleme in H1
  • Fehlerabschätzung in L2
  • Regularität von schwachen Lösungen
  • Randapproximation
  • Isoparametrische Elemente
• Adaptive Finite Elemente Methoden
  • Charakterisierung optimaler Gitter
  • Abstrakte a posteriori Fehlerabschätzung
  • A posteriori Fehlerabschätzung für das Modellproblem
  • Adaptive Methoden für stationäre Probleme
• Parabolische Probleme zweiter Ordnung
  • Die Wärmeleitungsgleichung: klassische Lösungen und Maximum-Prinzip
  • Definition von schwachen Lösungen, Existenz und Eindeutigkeit, Regularität
  • Semi-Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung
  • Zeitdiskretisierung
  • Abschließende Bemerkungen