Inversion am Kreis
Definition

Man betrachte einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.
Die Inversion an diesem Kreis ist für jeden Punkt P der
Zeichenebene außer dem Mittelpunkt M nach folgender Vorschrift
definiert:
- Der Bildpunkt P' liegt auf der Halbgeraden MP.
- Für die Abstände zwischen dem Bildpunkt P' bzw dem Punkt P und
M gilt: |P'M| |PM |= r2.
Konstruktion des Bildpunktes
Bei der Konstruktion von P' werden zwei Fälle unterschieden:
- P liegt innerhalb
des Inversionskreises.
- P liegt außerhalb
des Kreises.
Diese Konstruktionen beruhen auf dem Kathetensatz
des Euklid.
Eigenschaften
- Das Kreisinnere wird eindeutig auf das Kreisäußere abgebildet
und umgekehrt.
- Die Punkte auf der Kreislinie sind Fixpunkte.
- Die Abbildung ist eine Involtion: Wendet man sie auf einen
Punkt P und dann nochmals auf P' an, so erhält man wieder den
Ursprünglichen Punkt (P''=P).
- Nähert sich P dem Mittelpunkt M, so entfernt sich P'
unbeschränkt weit vom Kreis. Wandert umgekehrt P immer weiter
weg vom Kreis, nähert sich P' dem Mittelpunkt M. Der Bildpunkt
von M ist ein unendlich ferner Punkt.
- Sind A und B die Endpunkte auf dem Durchmesser des Kreises k,
wird die Strecke AB durch P
und P' harmonisch geteilt.
- Abbildung von Geraden:
- Geraden, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises
gehen, werden auf sich selbst abgebildet.
- Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt gehen, werden auf
Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen.
Experimentierdatei
- Abbildung von Kreisen:
- Kreise, die durch M verlaufen, werden auf Geraden
abgebildet, die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen.
- Kreise, die nicht durch M gehen, werden wieder auf solche
abgebildet.
- Kreise, die den Inversionskreis rechtwinkelig schneiden,
werden auf sich selbst abgebildet.
Experimentierdatei
- Die Abbildung ist winkeltreu Konstruktion
- Berühreigenschaften bleiben erhalten.
zurück zum
Beweis
Matthias Pahl, erstellt mit GeoGebra
|