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Zentrum für Technomathematik

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Sparsity und Compressed Sensing für Inverse Probleme

Arbeitsgruppe:AG Technomathematik
Leitung: Prof. Dr. Dirk Lorenz
Bearbeiter: Dr. Stefan Schiffler
Prof. Dr. Dirk Lorenz
Projektförderung: DFG SPP1324
Projektpartner: Prof. Dr. Gerd Teschke, Hochschule Neubrandenburg
Laufzeit: 01.06.2008 - 31.05.2011
Bild des Projekts Sparsity und Compressed Sensing für Inverse Probleme

In diesem Projekt soll die Theorie des "Compressed Sensing" auf das Feld Inverse Probleme erweitert werden. Es befindet sich also thematisch in der Schnittmenge von Signalverarbeitung und schlecht-gestellten Problemen. "Compressed Sensing" ist ein neues Feld in dem hochdimensionale Daten aus wenigen Daten rekonstruiert werden sollen. Hintergrund dafür ist die Tatsache, dass in vielen Anwendungen wesentlich mehr Daten gemessen als gespeichert werden. "Compressed Sensing" versucht, den Mess- und den Kompressionsschritt zu einem Schritt zusammenzufassen. Die Theorie ist für gut-gestellte Probleme schon weit entwickelt. Da die Daten in Anwendungen häufig nur indirekt gemessen werden können - und man es also mit einem schlecht gestellten Problem zu tun hat - ist eine Erweiterung der Theorie für solche Probleme ein wichtiges Problem.
Die wesentliche Punkte in diesem Projekt sind eine saubere Formulierung von Compressed Sensing in unendlich-dimensional Räumen und die Einbeziehung von schlecht gestellten Operatoren - sowohl linear als auch nicht-linear. Um die Theorie anwendbar zu machen, werden effiziente und robuste Rekonstruktionsalgorithmen benötigt. In diesem Projekt wird l1-Minimierung als Rekonstruktionsmethode untersucht. Dieser Ansatz ist vielverspechend, da er sich schon als robust herausgestellt hat. Die heutigen Methoden zur l1-Minimierung sich nicht sehr effizient wenn sie auf schlecht gestellte Probleme angewendet werden. In diesem Projekt werden halbglatte Newton-Verfahren untersucht, die zu den effizientesten Algorithmen in diesem Gebiet zählen.