Apollokapsel

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Wiedereintritt der Apollokapsel

Optimales Bremsmanöver eines Raumfahrzeugs in der Erdatmosphäre.
Eine Kapsel soll beim Wiedereintritt in die Erdatmosphäre so gesteuert werden, dass die Aufheizung J bei einer festen Zielhöhe ξ minimal ist.

$\begin{array}{crclrcll} &p_0&=& 2.704\cdot 10^{-3} \\ &g_0&=&3.2172\cdot 10^{-4} \\ &s_m&=&5.32\cdot 10^4\\ &\beta&=&4.26 \\ &r&=&209\\[.1cm] &p_w&=&p_0\cdot e^{-\beta \cdot r\cdot \xi}\\ &h_1&=&\frac{1}{1+\xi} \\ &h_2&=&g_0\cdot h_1\cdot h_1\\ &h_3&=& \frac{v}{r} \\ &h_4&=&0.5\cdot s_m \cdot p_w \cdot v\\[.4cm] \displaystyle\min_{v,\gamma,\xi,J,t_\text{f}} &\multicolumn{3}{l}{J(t_\text{f})}\\ \text{unter} &\dot v(t) &=&\multicolumn{4}{l}{-h_4\cdot v\cdot (1.174-0.9\cdot \cos u) - h_2\cdot\sin\gamma} \\ &\dot \gamma(t) &=&\multicolumn{4}{l}{ 0.62\cdot h_4\cdot\sin u - \frac{h_2}{v}\cdot\cos\gamma+ h_1\cdot h_3\cdot \cos\gamma}\\ &\dot \xi(t) &=& h_3\cdot \sin\gamma \\ &\dot J(t) &=& 10\cdot v^3\cdot \sqrt{ p_w} \\[.1cm] &v(0) &=& 0.36 & v(t_\text{f}) &=&0.27\\ &\gamma(0) &=& -8.1\cdot \frac{\pi}{180} &\gamma(t_\text{f}) &=& 0 \\ &\xi(0) &=& \frac{4}{209} &\xi(t_\text{f}) &=& 0.011962 \\ &J(0) &=& 0 \\[.1cm] &u(t)&\in&[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}],\quad t\in[0;t_\text{f}] \end{array}$

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