Höhenrakete

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Höhenrakete (Goddard-Problem)

Eine einstufige Höhenrakete soll so gesteuert werden, dass die Aufstiegshöhe bei freier Endzeit maximiert wird.
Dabei ist der Treibstoffvorrat begrenzt, d.h. die Masse m(t) darf den vorgegebenen Wert nicht unterschreiten. Ebenso führen negative Werte der Flughöhe h(t) auch zu ungültigen Lösungen.

$\begin{array}{crclrcll} &g(t) &=& g_0 \cdot \left(\frac{r_0}{r_0+h(t)}\right)^2 \\ &d(t) &=& \alpha \cdot v(t)^2 e^{-\beta h(t)} \\ &c &=& 2060.103 \\ &\alpha &=& 1.22710\cdot 10^{-2} \\ &\beta &=& 1.45010\cdot 10^{-4}\\ &g_0 &=& 9.810 \\ &r_0 &=& 6.37110\cdot 10^6 \\[.4cm] \displaystyle\max_{h,v,m,u,t_\text{f}} &\multicolumn{3}{l}{h(t_\text{f})}\\ \text{unter} &\dot h(t) &=& v(t) \\ &\dot v(t) &=&\frac{1}{m(t)}\cdot (u(t)\cdot c - d(t)) - g(t) \\ &\dot m(t) &=& -u(t) \\[.1cm] &h(0) &=& 0 \\ &v(0) &=& 0\\ &m(0) &=& 214.839 \\ &m(t_\text{f}) &=& 67.9833 \\[.1cm] &u(t)&\in&[0;10],\quad t\in[0;t_\text{f}] \end{array}$

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