Inhalt dieses Forschungs- und Anwendungsprojekts ist die Entwicklung numerischer Verfahren für Aufgaben der Datenassimilation bei sehr hochdimensionalen Problemen in der Klima- und Ozeanmodellierung. Die Datenassimilation benutzt numerische Simulationen und ständig aktualisierte Messwerte, um möglichst genaue Vorhersagen für die Entwicklung der betrachteten Umweltsysteme zu erhalten. Simulationen in diesen Bereichen verwenden als mathematische Modelle dynamische Systeme, die das zeitabhängige Verhalten der interessierenden Größen, wie Druck, Strömung, Temperatur usw., in dem betrachteten Gebiet annähernd beschreiben können. Wegen der vielfältigen Abhängigkeiten und der Größe der zu betrachtenden Gebiete sind diese Systeme außerordentlich hochdimensional. Eine Größenordnung von 10^7 ist durchaus üblich. Auch auf den schnellsten Computern können die hier anstehenden Aufgaben nicht direkt in vertretbarer Zeit gelöst werden. Die nötige, fortdauernde Anpassung der mathematischen Modelle mittels aktueller Messwerte erfordert daher die Entwicklung von viel kleiner dimensionalen Modellen, die dennoch das Systemverhalten hinreichend gut annähern, um eine sinnvolle Anpassung an die Messdaten vornehmen zu können.

In diesem Projekt werden zum einen verschiedene neue Ansätze der Ordnungsreduktion für die Datenassimilation bei sehr hochdimensionalen Systemen entwickelt. Zum anderen werden diese Techniken mathematisch analysiert und schließlich für konkrete Wettervorhersage-, Ozean- und Klimamodelle getestet und verglichen. Neben der extrem hohen Dimension der Systeme besteht eine zusätzliche Schwierigkeit bei diesen Aufgaben aus der Meteorologie und Ozeanographie noch darin, dass es sich oft um so genannte schlecht gestellte Probleme handelt, eine Tatsache, die bisher noch so gut wie gar nicht beachtet und behandelt worden ist. Im Vordergrund dieses Projektes stehen die folgenden drei Aufgaben:

• Die Entwicklung neuer numerischer Verfahren für sehr hochdimensionale schlecht gestellte, inverse Probleme zur Verbesserung der Variationsverfahren in der Datenassimilation.
• Die Untersuchung der Eignung von Ordnungsreduktionsansätzen in der Regelung und Steuerung zur Verbesserung der Effizienz der Datenassimilationsverfahren und zur Sensitivitätsanalyse mit dem Ziel der verbesserten Auswahl der zu berücksichtigenden Daten nach Position der Messstationen.
• Die Entwicklung von strukturerhaltenden Verfahren für Systeme mit speziellen Struktureigenschaften (Systeme, die Erhaltungsgleichungen genügen, u.Ä.).

Datenassimilation