Logo ZeTeM

Zentrum für Technomathematik

ZeTeM > Forschung und Anwendungen > Projekte > Spektrale Wertemengen für struktutrierte Matrixstörungen

Kontakt Sitemap Impressum [ English | Deutsch ]

Spektrale Wertemengen für struktutrierte Matrixstörungen

Leitung: Prof. Dr. Diederich Hinrichsen (E-Mail: dh@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter:
Projektförderung: DFG Graduiertenkolleg Komplexe Dynamische Systeme
Projektpartner: Prof. Dr. Anthony J. Pritchard, University of Warwick, Großbritannien
Laufzeit: 01.05.1997 - 31.07.2003
Bild des Projekts Spektrale Wertemengen für struktutrierte Matrixstörungen Die spektrale Wertemenge einer Matrix ist die Menge aller komplexen Zahlen, in die wenigstens ein Eigenwert der Matrix durch Störungen vorgegebener Struktur und Normschranke verschoben werden kann. Spektrale Wertemengen haben sich in den letzten Jahren zu einem Werkzeug entwickelt, das in zahlreichen Fragen der Unsicherheit und des Übergangsverhaltens dynamischer Systeme und zur Untersuchung von Verfahren der numerischen linearen Algebra angewandt wird. Ziel des Projekts ist es, einen Beitrag zur Entwicklung der Theorie spektraler Wertemengen zu leisten. Dabei sollen insbesondere reelle Matrixstörungen untersucht werden, die bisher in der Literatur kaum analysiert wurden. Die Hauptergebnisse des Projekts, die in die Dissertation von Michael Karow einfließen, sind die folgenden:
  1. Spektrale Wertemengen hängen stetig von sämtlichen Parametern ab, die in ihre Definition eingehen.
  2. Wenn die zugrunde liegende Norm und die zugrunde liegende Störungsstruktur semialgebraisch sind, dann sind auch die zugehörigen spektralen Wertemengen semialgebraisch. Ihr Rand ist daher stückweise analytisch.
  3. Das asymptotische Verhalten spektraler Wertemengen für kleine Störungen wird analysiert. Dabei werden Formeln für die Höldersche Konditionszahl eines mehrfachen Eigenwerts unter strukturierten Störungen angegeben. Diese Formeln verallgemeinern Resultate von Chatelin und Harabi.
  4. Spektrale Wertemengen blockdiagonaler Matrizen werden diskutiert. Diese sind relevant für das Stabilitätsverhalten gekoppelter linearer Systeme. Es werden Formeln für die Berechnung der zugehörigen mu-Funktionen hergeleitet. Dabei ergibt sich eine Verallgemeinerung der klassischen Eigenwert-einschlusssätze von Gerschgorin, Brauer und Brualdi.
  5. Der Zusammenhang der Größe der Pseudospektren einer Matrix mit deren Nichtnormalität wird untersucht. Insbesondere wird der Eigenwerteinschlusssatz von Henrici geeignet umformuliert und dann für Blockdreiecksmatrizen verallgemeinert.
  6. Es wird gezeigt, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen der reellen mu-Funktion in der Menge der reellen Matrizen enthalten ist.
  7. Für die Berechnung reeller spektraler Wertemengen von normalen Matrizen werden explizite Formeln angegeben. Somit wird ein von Hinrichsen und Pritchard aufgeworfenes Problem gelöst.
diss-karow
Das Bild zeigt die strukturierte reelle spektrale Wertemenge einer Diagonalmatrix A. Die Kreuze markieren die Eigenwerte von A. Die gestrichelte Kurve ist der Rand der analog definierten komplexen spektralen Wertemenge.