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Parallele Algorithmen für linear-quadratische Optimalsteuerungsprobleme

Arbeitsgruppe:Ehemalige AG Numerik
Leitung: Prof. Dr. Angelika Bunse-Gerstner ((0421) 218-63831, E-Mail: bunse-gerstner@math.uni-bremen.de)
Prof. Dr. Peter Benner
Bearbeiter:
Projektförderung: DAAD (Projektbezogener Personenaustausch Acciones Integradas Hispano-Alemanas)
Projektpartner: Prof. Dr. E. Quintana-Ortí, Universitat Jaume I, Castellón, Spanien
Prof. Dr. Vicente Hernandez, Departamento de Sistemas Informaticos y Computacion, Universidad Polytecnica de Valencia, Spanien
Prof. Dr. Volker Mehrmann, TU Berlin
Laufzeit: 01.01.1998 - 31.12.1999
Bild des Projekts Parallele Algorithmen für linear-quadratische Optimalsteuerungsprobleme Das autonome linear-quadratische Optimalsteuerungsproblem (oder linear-quadratisches Reglerproblem, kurz: LQR Problem) ist eines der meistbenutzten Modelle bei der Beschreibung, Analyse und Synthese von Steuerungsproblemen für lineare dynamische Systeme, z.B. wird es verwendet zur Systemstabilisierung und Kalmanfilterberechnung, zum Reglerentwurf, usw. Ebenso führt die lokale Analyse von nichtlinearen Systemen wieder zu linearen Systemen, und viele Berechnungsmethoden für nichtlineare Probleme beruhen daher auf der lokalen Lösung des LQR Problems.

Das LQR Problem ist eng verwandt mit linearen und quadratischen Matrixgleichungen. Die (unter bestimmten Voraussetzungen) eindeutigen Lösungen des LQR Problems ergeben sich als Zustandsrückführungen, die über die Lösungen von solchen Matrixgleichungen bestimmt werden können. Z.B. kann das Stabilisierungsproblem bei linearen Systemen als spezielles LQR Problem formuliert und mit Hilfe einer Lyapunovgleichung gelöst werden. Beim allgemeinen LQR Problem wird die optimale Steuerung über die Lösung der zugehörigen algebraischen Riccatigleichung (ARG) bestimmt. Daraus erklärt sich die Notwendigkeit für numerische Lösungsmethoden für diese Matrixgleichungen.

Bedingt durch die Beschränkungen in der verfügbaren Computerhardware war es bis vor wenigen Jahren nur möglich, niedrigdimensionale Probleme mit Zustandsraumdimension n < 100 numerisch zu lösen. Um nun komplexere Systeme zu untersuchen (z.B. bei der Stabilisierung flexibler mechanischer Systeme oder bei geregelten Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, wie sie in der chemischen Industrie, der Verfahrenstechnik oder Prozeßsteuerung auftreten) ist es notwendig, sowohl neue Methoden für diese hochdimensionalen Probleme zu entwickeln, als auch die bekannten Methoden zur Nutzung auf modernen Computerarchitekturen wie etwa Parallelrechnern zugänglich zu machen. Die bei den Steuerungsproblemen auftretenden Probleme sind in dem Sinne schwieriger als bei reinen Simulationsproblemen, als daß die Lösung des Vorwärtsproblems auf ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten führt, während das Lösen der zugehörigen ARG ein Problem mit (n²+n)/2 Unbekannten darstellt. Dies verdeutlicht, daß hier vielfältige Probleme auf der Seite der Informatik zu lösen sind, z.B. müssen große Datenmengen behandelt werden und es entsteht ein hoher Rechenzeitbedarf. Auch benötigen manche Probleme niedriger oder mittlerer Größe, die auf herkömmlichen PCs oder Workstations behandelt werden können, eine Lösung in Echtzeit. Dies kann üblicherweise nur unter Einsatz von parallelen Computerarchitekturen erreicht werden.

Das Ziel dieses Projekts war es, eine parallele Softwarebibliothek zur Lösung des LQR Problems und der damit verbundenen Teilprobleme zu entwickeln und zur Verfügung zu stellen. Dies ist erfolgreich durchgeführt worden. Die Parallel Libaray in Control (PLiC) ist unter http://anna.act.uji.es/~web/pub/plicd verfügbar. Diese Programmbibliothek besteht aus effizienten und portablen Routinen. Die Routinen für die notwendigen grundlegenden mathematische Berechnungen wie z.B. die Lösung von linearen und quadratischen Matrixgleichungen können daher auch zur Lösung anderer Probleme in der Steuerungs-, Regelungs- und Systemtheorie benutzt werden. Z.B. basieren viele Lösungsansätze zum robusten Reglerentwurf (H-unendlich- und H2-Steuerung) oder zur Filterberechnung auf denselben Matrixgleichungen wie das linear-quadratische Optimalsteuerungsproblem.

Insbesondere wurden neue Verfahren zur Lösung von Lyapunov- und Steingleichungen entwickelt, die auf der Signumfunktionsmethode oder einer beschleunigten Fixpunktiteration beruhen. Besonders effizient werden diese Verfahren im Vergleich zu herkömmlichen, Schurvektor-basierten Methoden, wenn es sich um Gleichungen eines verallgemeinerten Typus handelt oder aber falls im Falle semidefiniter Lösungen direkt ein Faktor der Lösung berechnet werden soll. Dazu wurden spezielle, neue Algorithmen entwickelt. Diese Verfahren wurden dann eingesetzt, um das Newtonverfahren für ARGs (dort entspricht die Jacobi-Matrix einem Lyapunov-Operator) und eine Stabilisierungsmethode für lineare Systeme zu implementieren. Die neu entwickelten Verfahren eignen sich insbesondere für Parallelrechner mit verteiltem Speicher, da die benötigte lineare Algebra auf solchen Architekturen wesentlich effizienter ist als bei Schurvektor-basierten Methoden.

Die Bibliothek wird weiterentwickelt und insbesondere um Implementierungen der im Folgeprojekt "Parallele Algorithmen zur Modellreduktion von hochdimensionalen linearen Regelungssystemen" entwickelten Verfahren ergänzt.