Logo ZeTeM

Zentrum für Technomathematik

ZeTeM > Forschung und Anwendungen > Projekte > Rationale Matrixgleichungen in der stochastischen Kontrolltheorie

Kontakt Sitemap Impressum [ English | Deutsch ]

Rationale Matrixgleichungen in der stochastischen Kontrolltheorie

Leitung: Prof. Dr. Diederich Hinrichsen (E-Mail: dh@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter:
Projektförderung: DFG Graduiertenkolleg Komplexe Dynamische Systeme
Projektpartner: Prof. Dr. Anthony J. Pritchard, University of Warwick, Großbritannien
Laufzeit: 01.01.1997 - 31.07.2002
Bild des Projekts Rationale Matrixgleichungen in der stochastischen Kontrolltheorie In den 80er Jahren hat sich, ausgehend von klassischen Konzepten der Regelungstechnik, eine Theorie der H-unendlich-optimalen Regelung entwickelt, die in der deterministischen Kontrolltheorie große Resonanz gefunden hat und inzwischen auf zahlreiche industrielle Regelungsprobleme angewandt worden ist. Eine H-unendlich-optimale Kontrolle stabilisiert ein System und minimiert den Einfluss von gewissen als Störung interpretierten Eingangsgrößen auf den Ausgang.

Im Rahmen dieses Projektes wurde zunächst eine der H-unendlich-optimalen Kontrolltheorie entsprechende Theorie für eine große Klasse stochastischer Systeme entwickelt. Dabei traten notwendige und hinreichende Bedingungen in der Form gekoppelter linearer und nichtlinearer Matrizenungleichungen auf. Diese Ungleichungen und die entsprechenden Gleichungen waren neu, und man verfügte weder über algebraische Bedingungen für ihre Lösbarkeit, noch über effiziente Algorithmen zur Berechnung von Lösungen.

Daher stand im weiteren die Untersuchung dieser Matrizenungleichungen und der entsprechenden Gleichungen im Vordergrund. Als zentrales Ergebnis wurde eine nichtlokal konvergente Variante des Newton-Algorithmus zur Lösung einer solchen Gleichung unter gewissen Regularitätsvoraussetzungen entwickelt.

In der aktuellen Phase des Projekts ist dieser Ansatz in verschiedene Richtungen erheblich erweitert und in speziellen Anwendungsbeispielen erprobt worden.
  • Zum einen konnten die Sätze zur iterativen Lösung der Gleichungen abstrahiert und auf eine umfangreiche Klasse nichtlinearer Operatorgleichungen (konkave Operatoren mit resolventenpositiven Superdifferentialen) in geordneten Banach-Räumen verallgemeinert werden. Dank dieser abstrakten Sichtweise erhält man so nicht nur ein Werkzeug zur Behandlung unendlichdimensionaler Regelungsprobleme, sondern kann die Sätze auch auf ganz andere Problemklassen anwenden, etwa in der Realisierungs- und der Faktorisierungstheorie.
  • Des weiteren wurden die verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen, die in jedem Schritt des Newton-Verfahrens zu lösen sind, eingehend untersucht. Für wichtige Spezialfälle konnten effiziente Verfahren zu ihrer Lösung entwickelt werden. Außerdem ergab sich eine schöne Charakterisierung von Lyapunov-Operatoren als genau diejenigen Operatoren, die positive Gruppen auf dem Raum der hermiteschen Matrizen generieren.
  • Schließlich ließ sich die Frage nach einem geeigneten Startwert für die Iteration unter natürlichen Voraussetzungen beantworten. Damit liegt nicht nur insgesamt ein vollständiger Algorithmus zur Lösung der gegebenen Gleichungen vor, auch in Bezug auf Existenzsätze und analytische Eigenschaften der Lösungen ist eine befriedigende Theorie der rationalen Matrixgleichungen entstanden.
Getestet und illustriert wurden die Ergebnisse anhand verschiedener Modellanwendungen. Die folgenden Abbildungen zeigen typische Effekte. Hier wurde ein System (automatisch allradgelenktes Fahrzeug) mit potentiell verrauschtem Parameter geregelt. Der Wert σ gibt die Rauschintensität an. Betrachtet wurden ein deterministischer Regler F0, der für den Wert σ=0 (kein Rauschen) optimiert wurde und ein stochastischer Regler F0.2, optimiert für σ=0.2. Im Ruhezustand wurde das System jeweils durch ein Stufensignal angeregt. Die Kurven zeigen die Reaktion des Ausgangs z(t) im quadratischen Mittel. Für kleine Rauschwerte ist der deterministische Regler F0 erwartungsgemäß überlegen. Nähert sich aber σ einem Schwellenwert σ~0.0485, so reagiert das durch F0 geregelte System zunehmend sensitiv auf die Störung. Bereits für σ=0.0485 ist das System instabil. Der Regler F0.2 hingegen stabilisiert das System noch für σ=0.2 und zeigt trotzdem ein akzeptables Dämpfungsverhalten.
diss-damm