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Analyse und Berechnung der Wachstumsrate linearer Systeme mit Parametervariationen

Leitung:
Bearbeiter: Prof. Dr. Fabian Wirth
Projektpartner:
Laufzeit: 01.01.1999 - 30.09.2003
Bild des Projekts Analyse und Berechnung der Wachstumsrate linearer Systeme mit Parametervariationen Der verallgemeinerte Spektralradius einer beschränkten Menge von Matrizen ist (für den diskreten Fall) definiert als die maximale zeitlich gemittelte Wachstumsrate beliebiger Produkte von Matrizen aus der vorgegebenen Menge. Seit Mitte der 80er Jahre ist die Untersuchung dieser Größe ein lebhaftes Forschungsgebiet, weil sie in verschiedensten Bereichen der angewandten Mathematik bei der Charakterisierung interessanter Eigenschaften auftritt. So liefert sie in natürlicher Weise z.B. Abschätzungen der Hölder-Konstante bestimmter Typen von Wavelets, und spielt eine Rolle bei der Stabilitätsanalyse von Mehrschrittverfahren sowie bei der Berechnung der Kapazität von Übertragungskanälen, bei denen bestimmte Bit-Kombinationen nicht verwendet werden dürfen. Auch vom kontrolltheoretischen Standpunkt ist der verallgemeinerte Spektralradius von Interesse, weil mit ihm Stabilität unsicherer Systeme mit zeitvarianten Parametern charakterisiert wird.

In dem Projekt wurden einerseits grundlegende Eigenschaften des verallgemeinerten Spektralradius untersucht. Hierzu wurde eine im diskreten wie im kontinuierlichen anwendbare Konstruktion von sogenannten extremalen Normen angegeben und allgemeine Eigenschaften von extremalen Normen analysiert. Mithilfe dieser Methoden konnte unter anderem gezeigt werden, dass der verallgemeinerte Spektralradius im generischen Fall Lipschitz-stetig von den Daten abhängt und eine Monotonie-Eigenschaft besitzt.

Im Bereich der Kontrolltheorie sind insbesondere kontinuierliche, lineare, zeitvariante Systeme von Interesse, die weitere Beschränkungen an die Regularität der Parametervariationen erfüllen. So wird oft neben der vorgegebenen Matrizenmenge als zusätzliches Datum eine Beschränkung an die Lipschitz-Konstante der zulässigen Parametervariationen vorgegeben. Derartige Systeme werden häufig für die Approximation komplizierter, nichtlinearer Systeme verwendet und bilden eine der Hauptgrundlagen des Reglerentwurfs für nichtlineare Systeme. Trotz dieses Interesses waren allerdings wichtige Probleme offen, so z.B. die grundlegende Frage, ob die Wachstumsrate stetig von den Daten abhängt. Auch für diesen Fall konnte ein allgemeines Prinzip der Konstruktion von extremalen Normen angegeben werden und mithilfe dieser unter anderem Stetigkeit sowie generische lokale Lipschitz-Stetigkeit der Wachstumsrate gezeigt werden.

Auf Grundlage dieser Eigenschaften konnte für bereits bekannte numerische Approximationsverfahren eine Abschätzung der Konvergenzrate bewiesen werden. Es ist bekannt, dass schon die Berechnung des verallgemeinerten Spektralradius ein NP-schweres Problem ist. Allerdings konnte bereits in früheren Arbeiten mit Prof. Grüne (Bayreuth) eine Einparameter-Familie von Näherungsproblemen angegeben werden, deren Lösungen mit linearer Rate gegen den verallgemeinerten Spektralradius konvergieren. Diese Ergebnisse konnten während des Berichtszeitraums auf den Fall verallgemeinerter Parametervariationen und die Berechnung von Stabilitätsradien ausgedehnt werden.