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Diffusion, Advection, Phase changes and Interfaces

Arbeitsgruppe:AG Numerik PDE
Leitung: Prof. Dr. Alfred Schmidt ((0421) 218-63851, E-Mail: schmidt@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter:
Projektförderung: DAAD (NSF Cooperative Grant)
Projektpartner: Prof. Dr. Kunibert G. Siebert, Universität Duisburg-Essen
Prof. Dr. Ricardo H. Nochetto, University of Maryland, College Park, USA
E. Bänsch, Universität Erlangen
Prof. Dr. G. Dziuk, Universität Freiburg
Laufzeit: 01.01.2002 - 31.12.2002
Bild des Projekts Diffusion, Advection, Phase changes and Interfaces Sei mehreren Jahren besteht eine enge Kooperation mit den oben genannten Wissenschaftlern zu mathematischen Fragen der Fehlerkontrolle bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Gemeinsam mit dem Themenkomplex der adaptiven Strategien gehören diese zu den wichtigsten und wirkungsvollsten Hilfsmitteln, um die Grenzen der Numerik voranzutreiben, und somit das Verständnis von komplexen, höchst nichtlinearen physikalischen Phänomenen zu erweitern. Im Rahmen der Kooperation wurden u.a. die folgenden Themen bearbeitet:
  • Phasenfeldmodelle für Phasenübergangsprobleme:
    Diese Modelle führen auf degeneriert parabolische Systeme von Differentialgleichungen, die im Falle der Verwendung eines "Double Obstacle Potentials" eine zeitabhängige Variationsungleichung enthalten. In Zusammenarbeit mit Z. Chen (Beijing) und R. Nochetto werden a posteriori Fehlerabschätzungen und adaptive Finite-Elemente-Methoden für diese Probleme hergeleitet.
  • Fehlerkontrolle für Allen-Cahn-Gleichungen:
    Bei den üblichen Fehlerabschätzungen für zeitabhängige Allen-Cahn-Gleichungen wird üblicherweise ein Gronwall-Argument benutzt, das zu Konstanten führt, die exponentiell vom Regularisierungsparameter abhängen. Durch Ausnützung von speziellen Eigenwertabschätzungen kann in Spezialfällen eine polynomiale Abhängigkeit erzielt werden. Diese Arbeiten werden in Zusammenarbeit mit R. Nochetto und D. Kessler durchgeführt.
  • Punktweise Fehlerkontrolle für Variationsungleichungen:
    In Zusammenarbeit mit R. Nochetto und K. G. Siebert werden a posteriori Fehlerabschätzungen und adaptive Methoden für den punktweisen Fehler bei der Finite-Elemente-Approximation von Variationsungleichungen entwickelt.
daad-nsf-phasegraphs
Graphen von Phasenvariable (oben) und Temperatur (unten) beim Gefrieren einer unterkühlten Flüssigkeit