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Besov-Räme und nichtseparable Wavelet-Basen mit Anwendungen der nichtlinearen Approximation in der Bilddatenkompression

Arbeitsgruppe:AG Technomathematik
Leitung: Prof. Dr. Dr. h.c. Peter Maaß ((0421) 218-63801, E-Mail: pmaass@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter: Prof. Dr. Mathias Lindemann
Projektpartner: Prof. Dr. Stephan Dahlke, Philipps-Universität Marburg; AG Numerik / Wavelet-Analysis
Laufzeit: 01.01.2002 - 31.03.2005
Bild des Projekts Besov-Räme und nichtseparable Wavelet-Basen mit Anwendungen der nichtlinearen Approximation in der Bilddatenkompression

In der Dissertation von Mathias Lindemann werden Besov-Räume und ihr Zusammenhang zur Darstellung von Funktionen über Wavelets mit allgemeinen Skalierungsmatrizen untersucht. Die weitläufig bekannten Resultate über die Verbindung zwischen Besov-Räumen und einer dyadischen Wavelet-Darstellung von Funktionen werden für solche Fälle erweitert, in denen die Dilation durch eine ganzzahlige Matrix gegeben ist, die expandierend und isotrop ist. Berühmte Beispiele solcher Matrizen sind die Quincunx-Matrix oder die Boxspline- Matrix. Der Unterschied zum dyadischen Fall liegt darin, dass hier kein Tensorprodukt- Ansatz gemacht werden kann. Betrachtet werden nichtseparable Wavelet-Basen in zwei oder höheren Dimensionen, die sich nicht über den eindimensionalen Fall erklären lassen. Neueste Ergebnisse zur Konstruktion von Wavelets und Multiwavelets mit allgemeinen Skalierungsmatrizen brachte die Gruppe von Stephan Dahlke in Marburg hervor. Kürzlich entwickelten auch die Wissenschaftler um Michael Unser (Biomedical Imaging Group, EPFL Lausanne) ein Konstruktionsverfahren für nichtseparable, zweidimensionale Wavelet-Basen unter Verwendung von isotropischen, polyharmonischen B-Splines. Erzielt wird ein Quincunx-Subsampling-Schema, das den Wavelet-Raum mit nur einem Wavelet beschreibt: dem isotropic-polyharmonic B-Spline-Wavelet. Interessanterweise konvergiert dieses Wavelet gegen eine Kombination von vier Gabor-Atomen, die weithin bekannt sind für eine gute Beschreibung für eine große Klasse von Signalen. Die offene Frage ist dabei, wie sich die Beweise für den dyadischen, separablen Fall auf den generellen, im Allgemeinen nichtseparablen Fall mit beliebigen Skalierungsmatrizen übertragen lassen. Hierzu muss man die shift-invarianten Räume auf den Grad der Reproduktion von Polynomen prüfen. Sind die Zusammenhänge ähnlich wie im separablen, dyadischen Fall? Man vermutet ja. Ähnliche Fragen wurden bereits für anisotrope Wavelet-Basen untersucht.

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Hier ist die so genannte Twin-Dragon-Menge abgebildet – das einfachste Beispiel eines selbstaffinen Tilings, das zur Quincunx-Matrix und dem Haar-Wavelet gehört.

Im Einzelnen sollen geeignete Jackson- und Bernstein-Ungleichungen für diese Räume gefunden werden. Sie gewährleisten eine Charakterisierung der Besov-Räume Bαq(Lp(Rd))über gewichtete Folgenraum-Normen der entsprechenden Multilevel-Darstellungen von Funktionen, die sich anschließend als die beschreibenden Räume der nichtlinearen Approximation mit Wavelet-Basen herausstellen. Unklar ist bis heute, ob diese Approximationsräume mit denen aus der dyadischen Wavelet-Approximation zusammenfallen bzw. die gleiche Struktur haben.

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Abgeschnittene Wavelet-Zerlegungen, oben separabel mit den Leveln 3,4,5,6 und unten nichtseparabel mit den Leveln 6,8,10,12