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Zentrum für Technomathematik

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Regularisierungsverfahren für die LIDAR-Gleichung

Arbeitsgruppe:AG Technomathematik
Leitung: Prof. Dr. Dr. h.c. Peter Maaß ((0421) 218-63801, E-Mail: pmaass@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter: Dr. Silva Fischer
Projektförderung: BMBF (07/1997 - 06/2000), FNK/Universität Bremen (08/2000 - 07/2003)
Projektpartner: OHB System GmbH, OHB System GmbH
Elight Laser Systems GmbH
Laufzeit: 01.07.1997 - 31.10.2004
Bild des Projekts Regularisierungsverfahren für die LIDAR-Gleichung

Die Ursache für den in der Mitte der 80er Jahre beobachteten, besorgniserregenden Ozonabbau in der Atmosphäre ist eine erhöhte Emission von FCKW's, aus denen durch chemische Reaktionen Chlor-Atome gelöst werden, die ihrerseits Ozon vernichten. Es stellte sich heraus, dass sogenannte Aerosole (luftgetragene Teilchen, z.B. Industrieabgase) als Reaktionsoberflächen für die Chlorfreisetzung dienen. Ein wichtiger Parameter für das Verständnis des Ozonabbaus ist demnach die Größenverteilung dieser Aerosole in verschiedenen Schichten der Atmosphäre. Ein bodengestütztes Fernmessverfahren zur Bestimmung der gesuchten Partikelgrößenverteilung ist LIDAR (LIght Detection And Ranging). Dabei werden Laserpulse einer bekannten Intensität P0 und verschiedener Wellenlängen in die Atmospäre gesendet. Treffen diese auf ein Aerosol, wird ein Anteil der Puls-Energie von diesem extingiert (vorwärtsgestreut) und ein Anteil zurückgestreut. Am Boden wird die Intensität des zurückgestreuten Pulses Pz gemessen, wobei aus der Laufzeit vom Aussenden bis zum Empfangen des Signals die Höhe z, in der der Streuvorgang stattfand, ermittelt wird.

lidar
links: Mobile Mess-Station,
rechts: Schematische Darstellung des Messvorgangs

Das direkte Problem (die Berechnung der am Boden gemessenen Intensität aus einer bekannten Partikelgrößenverteilung) wird durch ein gekoppeltes System von drei Integral-Gleichungen beschrieben: die nichtlineare LIDAR-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Intensität und Rückstreu- bzw. Extinktionseigenschaften der Aerosole, zwei Fredholmsche Integralgleichungen erster Art modellieren die Abhängigkeit der Rückstreuung bzw. Extinktion von der Partikelgrößenverteilung. Das inverse Problem besteht dagegen in der Rekonstruktion der Partikelgrößenverteilung aus den gemessenen Intensitätsdaten. Derzeit kommen Rekursionsverfahren zum Einsatz, bei denen die gesuchte Aerosol-verteilung über Parameter-Fitting-Methoden approximiert wird. Die so gewonnenen Ergebnisse sind aber aus Sicht der Anwender unbefriedigend, weshalb ein neues Verfahren zur Inversion des Integralgleichungssystems entwickelt wurde. Die Kernfunktionen der beiden Fredholm-Gleichungen sind sehr komplex. Unter Ausnutzung bestimmter Eigenschaften der Kernfunktionen, die zunächst bewiesen wurden, konnte eine analytische Inversionsformel mithilfe der Mellin-Transformation bewiesen und implementiert werden. Nach Abschluss der Untersuchung der linearen Operatoren konnten die zur Anwendung einer Tikhonov-Phillips-Regularisierung notwendigen Eigenschaften des nichtlinearen LIDAR-Operators wie Frechet-Differenzierbarkeit und schwache Folgenabgeschlossenheit nachgewiesen werden. In der letzten Phase des Projektes geht es nunmehr um die numerische Implementierung.