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Spektrale Wertemengen und transientes Verhalten

Leitung: Prof. Dr. Diederich Hinrichsen (E-Mail: dh@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter: Dr. Elmar Plischke
Prof. Dr. Fabian Wirth
Projektförderung: DFG (Normalverfahren)
Projektpartner: Prof. Dr. Anthony J. Pritchard, University of Warwick, Großbritannien
Laufzeit: 01.07.2002 - 30.06.2006
Bild des Projekts Spektrale Wertemengen und transientes Verhalten

Im Zentrum dieses DFG-Projektes stehen Untersuchungen zum transienten Verhalten linearer dynamischer Systeme und dem Zusammenhang zu Robustheitseigenschaften dieser Systeme. Es werden dabei sowohl Verfahren zur Analyse des transienten Verhaltens als auch zur Synthese linearer Systeme mit gewünschtem Übergangsverhalten entwickelt. In asymptotisch stabilen, linearen dynamischen Systemen können einzelne Anfangszustände um Größenordnungen verstärkt werden, sofern die Systemmatrix stark nichtnormal ist. Dieses Übergangsverhalten ist in vielen Anwendungen unerwünscht – man denke zum Beispiel an Einschaltvorgänge, die eine erhebliche Belastung darstellen, da hier transiente Effekte bis an die Grenzen der Toleranzen einzelner Bauteile reichen können. Im Rahmen der Linearisierungstheorie nichtlinearer Systeme bieten transiente Bewegungen einen Hinweis auf kleine Einzugsbereiche asymptotisch stabiler Fixpunkte. Dieser Gesichtspunkt spielt insbesondere in der Fluiddynamik bei Untersuchungen des Übergangs von laminarer zu turbulenter Strömung eine entscheidende Rolle. Spektrale Wertmengen bilden die Variabilität des Spektrums einer Matrix unter Störungen bestimmter Struktur ab und liefern ein Werkzeug zur Untersuchung von Robustheitseigenschaften linearer Systeme. Mit ihrer Hilfe können insbesondere Schranken für das transiente Verhalten dieser Systeme angegeben werden.

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Transientes Verhalten eines stabilen, linearen Systems

Im Berichtszeitraum wurden Ergebnisse zu den folgenden Teilproblemen erzielt:

  • Für lineare zeitverzögerte Systemen wurde eine spezielle Klasse von quadratischen Lyapunov-Funktionen entwickelt. Diese Funktionen lassen sich aus den gegebenen Systemdaten konstruieren, und erlauben es erstmals, explizite Abschätzungen für das transiente Verhalten dieser Klasse unendlichdimensionaler Systeme vorzulegen.
  • Im Fall positiver Systeme können effiziente Abschätzungen für das transiente Verhalten durch lineare Lyapunov-Funktionen angegeben werden. Es wurde ein Algorithmus zur Berechnung der optimalen Lyapunov-Funktion entwickelt. Außerdem wurde gezeigt, dass positive Systeme im Vergleich zu allgemeinen linearen Systemen in gewisser Weise das "extremste" transiente Verhalten an den Tag legen.
  • Es wurden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von Rückkopplungen ermittelt, so dass ein geschlossener Regelkreis gewünschte Wachstumsschranken erfüllt.
  • Für lineare Differentialinklusionen wurden neue Schranken für die transiente Wachstumsschranke gewonnen, die das transiente Verhalten als Robustheitseigenschaft gegenüber zeitvarianten Störungen interpretieren.
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Gewinnung von oberen Schranken für das transiente Verhalten dieses Systems aus den zugehörigen spektralen Wertemengen