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Zentrum für Technomathematik

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Regularisierung von nichtlinearen inversen Problemen

Arbeitsgruppe:AG Technomathematik
Leitung: Prof. Dr. Dr. h.c. Peter Maaß ((0421) 218-63801, E-Mail: pmaass@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter: Prof. Dr. Ronny Ramlau
Projektpartner:
Laufzeit: 01.01.2000 - 30.09.2006
Bild des Projekts Regularisierung von nichtlinearen inversen Problemen

SPECT-Sinogramm (links) und Rekonstruktion aus verrauschten Daten (rechts)

Viele physikalisch-technische Probleme führen auf die Aufgabe, ein nichtlineares, schlecht gestelltes, inverses Problem zu lösen. Von besonderer Bedeutung ist dabei die Entwicklung von Verfahren, die unter schwachen Einschränkungen an den nichtlinearen Operator arbeiten. Diese Bedingungen sollen so beschaffen sein, dass ein Nachweis für Praxisprobleme, z.B. aus der medizinischen Bildverarbeitung, möglich ist. Im Mittelpunkt des Interesses stehen Operatoren, die eine bestimmte Struktur aufweisen, beispielsweise bilineare oder zweimal stetig differenzierbare Operatoren. Durch eine Kombination der Tikhonov-Regularisierung mit einem iterativen Algorithmus zur Minimierung des Tikhonov-Funktionals werden Regularisierungsverfahren entwickelt, die den oben genannten Ansprüchen genügen.

Insbesondere werden folgende Aspekte untersucht:

  • Entwicklung von iterativen Algorithmen zum Auffinden von globalen Minima des Tikhonov-Funktionals für nichtlineare Operatoren.
  • Entwicklung von Strategien zur Wahl des Regularisierungsparameters für die Tikhonov- Regularisierung und allgemeine nichtlineare Gleichungen.
  • Anwendung der entwickelten Verfahren auf Probleme der medizinischen Bildverarbeitung (SPECT) und der Ingenieurwissenschaften (z.B. Unwuchtbestimmung in Flugzeugturbinen, Elektrogeneratoren oder Windkraftanlagen).

Bei SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) handelt es sich um eine medizinische Untersuchungsmethode, mit der Anomalien im menschlichen Gewebe gefunden werden sollen. Im Gegensatz zur Computertomographie ist der zu invertierende Operator nichtlinear. Ein Ziel dieses Forschungsprojektes ist es, die bisher erreichbare SPECT- Rekonstruktionsqualität deutlich zu verbessern.