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AAG Computational Data Analysis

Leitung: Prof. Dr. Emily King

AAG Computational Data Analysis AAG Computational Data Analysis

Die durch die Exzellenzinitiative geförderte AG Computational Data Analysis besteht seit April 2014. Sie ist offiziell mit dem ZeTeM und dem Institut für Algebra, Geometrie, Topologie und deren Anwendungen (ALTA) assoziiert. Zusätzlich wird die Etablierung einer langfristigen Kooperation mit dem Institut für Umweltphysik (IUP) angestrebt.

Der mathematische Schwerpunkt der AG Computational Data Analysis liegt in der algebraischen und angewandten harmonischen Analyse, wobei hier unter dem Begriff der harmonischen Analyse neben der klassischen Fourier-Analyse und der in dem 20en Jahrhundert etablierten Zeit-Frequenz-Analyse bzw. Wavelet-Analyse alle Methoden zusammengefasst werden, in welchen ein Objekt mit einer einem Basiswechsel ähnlichen Transformation analysiert und schließlich im Transformationsbereich verarbeitet wird. Diese zusätzliche Abstraktionsebene erlaubt es, bestimmte Forschungsgebiete, wie beispielsweise die Wavelet-Analyse über p-adischen Zahlen und structured Dictionary-Learning, zu verbinden. Des Weiteren spielen sogenannte sparsity-basierte (,,sparse’’ bedeutet im Englischen „dünnbesetzt“) Methoden, welche erst seit Kurzem in den Fokus der mathematischen Forschung gerückt sind, eine große Rolle in der Arbeit der AG Computational Data Analysis. Im Zentrum steht hierbei die Annahme, dass Vertreter bestimmter Klassen von Daten (z.B.: natürliche Bilder oder Musikstücke) stets als Linearkombination einer äußerst geringen Anzahl entsprechender, mit einer Transformation assoziierter, atomarer Funktionen dargestellt werden können. Wählt man nun für gegebene Daten die richtige Transformation - also eine Transformation, welche es vermag, die Daten mit nur wenigen signifikanten Koeffizienten zu repräsentieren - so kann die sparsity-Voraussetzung genutzt werden, um ansonsten unterbestimmte Probleme zu regularisieren.

Ein weiteres Spezialgebiet der AG Computational Data Analysis ist die sogenannte Shearlet-Theorie, welche als Weiterentwicklung bzw. Generalisierung der Wavelet-Analyse verstanden werden kann. Shearlet-basierte Funktionensysteme sind insbesondere zur Darstellung geometrischer Charakteristika von zwei- und mehrdimensionalen Daten geeignet, wie sie beispielsweise in natürlichen Bildern oder seismischen Messungen auftreten. Dies wird erreicht, indem - im Gegensatz zu mehrdimensionalen Wavelet-Basen, in welchen das generierende Wavelet in jeder Dimension gleichförmig, also isotrop, skaliert wird - bei der Konstruktion von Shearlet-Systemen die zugrundeliegende atomare Funktion in einer bestimmten Dimension verstärkt, also anisotrop, skaliert wird. Durch diesen Vorgang entstehen stark richtungsabhängige Atome, welche es vermögen, sich durch die Anwendung eines, die präferierte Richtung verändernden, Scherungs-Operators in natürlicher Weise verschiedenen geometrischen Strukturen anzupassen, diese also dünnbesetzt zu repräsentieren. Derzeit kooperiert die AG Computational Data Analysis mit der AG Technische Thermodynamik im FB 4 und der AG Physical Analysis of Remote Sensing Images im FB 1, um mit Hilfe Shearlet-basierter Funktionensysteme bessere Bildverarbeitungsmethoden für Daten aus den jeweiligen Fächern zu entwickeln.

Eine äußerst nützliche Struktur zur Analyse von Transformationen, welche auf redundanten – also nicht linear unabhängigen – Funktionensystemen basieren, bilden sogenannte Frames. Die Frame-Theorie verallgemeinert dabei den Begriff der Orthonormalbasis und stellt damit ein wichtiges Werkzeug in der modernen harmonischen Analyse dar. Diese weiterzuentwickeln und neue nützliche Frames zu entwickeln, ist nun das erklärte Ziel eines in Kooperation mit ALTA im Oktober gestarteten und von der Zentralen Forschungsförderung der Universität Bremen unterstützten Explorationsprojektes.