Unter der Eulergeraden (benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) eines Dreiecks ABC versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt S (X2), den Umkreismittelpunkt M (X3) und durch den Höhenschnittpunkt H (X4) des Dreiecks geht.

Beweis

Da von drei Punkten behauptet wird, dass sie auf einer Geraden liegen, ist ein Beweis notwendig.

Wir betrachten die zentrische Streckung mit dem Zentrum S und dem Streckfaktor -0,5. Diese bildet die drei Eckpunkte A, B und C ab auf Ma, Mb und Mc. (Begründung: siehe Beweis zum Schwerpunkt S (X2) )
Da bei einer zentrischen Streckung Ausgangsgerade und Bildgerade zueinander parallel sind, werden die Höhen (blau) auf die Mittelsenkrechten (orange) des Ausgangsdreiecks ABC abgebildet. Also wird H auf M abgebildet.
Bei einer zentrischen Streckung liegen Ausgangspunkt (hier H), Streckzentrum (hier S) und Bildpunkt (hier M) auf einer Geraden.

Folgerung

Die Strecke HS ist doppelt so lang wie SM.

Matthias Pahl, R. Albers erstellt mit GeoGebra