X7: Der Gergonne Punkt

Der Gergonne Punkt ist der Schnittpunkt der Ecktransversalen zu den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises.

Die Baryzentrischen Koordinaten sind .


Beweis
Der Beweis, dass sich die drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden, ist eine direkte Anwendung der Umkehrung des Satzes von Ceva.
Dazu ist zu zeigen, dass der Ausdruck |AZ||ZB|·|BX||XC|·|CY||YA|\frac{|AZ|}{|ZB|}·\frac{|BX|}{|XC|}·\frac{|CY|}{|YA|} den Wert 1 hat.
Da |AZ| = |AY| (rot), |BZ| = |BX| (grün) und |CX| = |CY| (blau), da sie gleich lange Tangentenabschnitte an den Inkreis sind, ergibt sich |AZ||ZB|·|BX||XC|·|CY||YA|=1\frac{|AZ|}{|ZB|}·\frac{|BX|}{|XC|}·\frac{|CY|}{|YA|}=1 unmittelbar.

Jan Kratschmer, R. Albers Erstellt mit GeoGebra