Satz

Der Mittelpunkt F des Feuerbach-Kreises liegt stets auf der Eulergeraden und ist Mittelpunkt der Strecke HM.


Dieser Satz wird in zwei Teilbeweisen gezeigt:
1. Behauptung: F liegt auf der Eulergeraden.
2. Behauptung: F teilt die Strecke HM in der Mitte.

1. F liegt auf der Eulergeraden

Man betrachte das Dreieck ABC mit den Seitenmitten Ma, Mb und Mc. H sei der Höhenschnittpunkt, M der Umkreismittelpunkt und S der Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Der Umkreis des Mittendreiecks MaMbMc ist der Feuerbachkreis. Sei e die Eulergerade des Dreiecks ABC und em die Eulergerade des Mittendreiecks. Mm sei der Umkreismittelpunkt des Mittendreiecks, Sm sein Schwerpunkt und Hm sein Höhenschnittpunkt.

Dann gilt:

  • M, S und H liegen auf e.
  • Mm, Sm und Hm liegen auf em.
  • F ist der Umkreismittelpunkt des Mittendreiecks: F=Mm.
  • Der Höhenschnittpunkt des Mittendreiecks ist Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC: Hm=M.
  • Der Schwerpunkt des Mittendreiecks ist Schwerpunkt des Dreiecks ABC: Sm=S.

Die Eulergeraden e und em haben also zwei gemeinsame Punkte und stimmen deshalb überein. Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F=Mm liegt auf der Geraden e.

2. F ist der Mittelpunkt der Strecke HM

S teilt die Strecke HM im Verhältnis 2 : 1 (siehe X3), also teilt auch Sm die Strecke HmMm in diesem Verhältnis.
Daher gilt:

(Hm=M, Sm=S, Mm=F)
Einsetzen in |MF| = |MS| + |SF| liefert die Behauptung:

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Matthias Pahl, Erstellt mit GeoGebra