Beweis über den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

Dieser Beweis gilt als der klassische. Er basiert auf sehr einfachen Grundkenntnissen.

Gegeben ist das Ausgangsdreieck ABC mit seinen Höhen.
Man konstruiert zu jeder Dreiecksseite die Parallele durch den gegenüberliegenden Eckpunkt und erhält so das Dreieck A'B'C'.
Wir zeigen, dass die Höhe ha Mittelsenkrechte im Dreieck A'B'C' ist.
Das Dreieck ABC wird durch B' zu einem Parallelogramm ergänzt. Folglich ist |B'A| = |BC| = a.
Das Dreieck ABC wird durch C' zu einem Parallelogramm ergänzt. Folglich ist |C'A| = |BC| = a.
Also ist A der Mittelpunkt der Strecke B'C'.
Da B'C' parallel zu BC ist, ist auch ha senkrecht zu B'C'.
Damit ist ha die Mittelsenkrechte zur Strecke B'C'.

Analog kann man für die übrigen beiden Höhen hb und hc zeigen, dass sie die Mittelsenkrechten zur Strecke A'C' bzw. A'B' sind. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Reimund Albers, erstellt mit GeoGebra