Rationale Matrixgleichungen in der stochastischen Kontrolltheorie
Leitung: | Prof. Dr. Diederich Hinrichsen (E-Mail: dh@math.uni-bremen.de) |
Bearbeitung: | |
Projektförderung: | DFG Graduiertenkolleg Komplexe Dynamische Systeme |
Projektpartner: | Prof. Dr. Anthony J. Pritchard, University of Warwick, Großbritannien |
Laufzeit: | 01.01.1997 - 31.07.2002 |
In den 80er Jahren hat sich, ausgehend von klassischen Konzepten
der Regelungstechnik, eine Theorie der H-unendlich-optimalen Regelung
entwickelt, die in der deterministischen Kontrolltheorie große Resonanz
gefunden hat und inzwischen auf zahlreiche industrielle Regelungsprobleme
angewandt worden ist. Eine H-unendlich-optimale Kontrolle stabilisiert
ein System und minimiert den Einfluss von gewissen als Störung
interpretierten Eingangsgrößen auf den Ausgang.
Im Rahmen dieses Projektes wurde zunächst eine der H-unendlich-optimalen Kontrolltheorie entsprechende Theorie für eine große Klasse stochastischer Systeme entwickelt. Dabei traten notwendige und hinreichende Bedingungen in der Form gekoppelter linearer und nichtlinearer Matrizenungleichungen auf. Diese Ungleichungen und die entsprechenden Gleichungen waren neu, und man verfügte weder über algebraische Bedingungen für ihre Lösbarkeit, noch über effiziente Algorithmen zur Berechnung von Lösungen.
Daher stand im weiteren die Untersuchung dieser Matrizenungleichungen und der entsprechenden Gleichungen im Vordergrund. Als zentrales Ergebnis wurde eine nichtlokal konvergente Variante des Newton-Algorithmus zur Lösung einer solchen Gleichung unter gewissen Regularitätsvoraussetzungen entwickelt.
In der aktuellen Phase des Projekts ist dieser Ansatz in verschiedene Richtungen erheblich erweitert und in speziellen Anwendungsbeispielen erprobt worden.
Im Rahmen dieses Projektes wurde zunächst eine der H-unendlich-optimalen Kontrolltheorie entsprechende Theorie für eine große Klasse stochastischer Systeme entwickelt. Dabei traten notwendige und hinreichende Bedingungen in der Form gekoppelter linearer und nichtlinearer Matrizenungleichungen auf. Diese Ungleichungen und die entsprechenden Gleichungen waren neu, und man verfügte weder über algebraische Bedingungen für ihre Lösbarkeit, noch über effiziente Algorithmen zur Berechnung von Lösungen.
Daher stand im weiteren die Untersuchung dieser Matrizenungleichungen und der entsprechenden Gleichungen im Vordergrund. Als zentrales Ergebnis wurde eine nichtlokal konvergente Variante des Newton-Algorithmus zur Lösung einer solchen Gleichung unter gewissen Regularitätsvoraussetzungen entwickelt.
In der aktuellen Phase des Projekts ist dieser Ansatz in verschiedene Richtungen erheblich erweitert und in speziellen Anwendungsbeispielen erprobt worden.
- Zum einen konnten die Sätze zur iterativen Lösung der Gleichungen abstrahiert und auf eine umfangreiche Klasse nichtlinearer Operatorgleichungen (konkave Operatoren mit resolventenpositiven Superdifferentialen) in geordneten Banach-Räumen verallgemeinert werden. Dank dieser abstrakten Sichtweise erhält man so nicht nur ein Werkzeug zur Behandlung unendlichdimensionaler Regelungsprobleme, sondern kann die Sätze auch auf ganz andere Problemklassen anwenden, etwa in der Realisierungs- und der Faktorisierungstheorie.
- Des weiteren wurden die verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen, die in jedem Schritt des Newton-Verfahrens zu lösen sind, eingehend untersucht. Für wichtige Spezialfälle konnten effiziente Verfahren zu ihrer Lösung entwickelt werden. Außerdem ergab sich eine schöne Charakterisierung von Lyapunov-Operatoren als genau diejenigen Operatoren, die positive Gruppen auf dem Raum der hermiteschen Matrizen generieren.
- Schließlich ließ sich die Frage nach einem geeigneten Startwert für die Iteration unter natürlichen Voraussetzungen beantworten. Damit liegt nicht nur insgesamt ein vollständiger Algorithmus zur Lösung der gegebenen Gleichungen vor, auch in Bezug auf Existenzsätze und analytische Eigenschaften der Lösungen ist eine befriedigende Theorie der rationalen Matrixgleichungen entstanden.