Die AG Numerik und das Institut für Theoretische Elektrotechnik und Mikroelektronik (ITEM) der Universität Bremen führen seit mehreren Jahren ein interdisziplinäres Projekt zur Entwicklung von Simulationswerkzeugen für den Entwurf hochintegrierter mikroelektronischer Schaltungen durch. Das Design derartiger Schaltungen, die inzwischen in fast allen, auch den alltäglichsten, technischen Geräten verwendet werden, ist ohne numerische Simulation nicht durchzuführen. Die aktuell in der Industrie verwendeten Simulationsalgorithmen können für bestimmte Schaltungen keine oder keine befriedigenden Simulationsergebnisse liefern. In diesem Projekt werden neue numerische Verfahren entwickelt, die Lösungsstrategien für einige dieser Problemklassen zur Verfügung stellen.
So verursacht zum Beispiel die Simulation von elektrischen Schaltungen mit Elementen, die auf stark unterschiedlichen Zeitskalen arbeiten (Mischer, Filter, Konverter, RF-Schaltungen, etc.) große numerische Schwierigkeiten:

• Die Lösung enthält oft stark oszillierende Anteile unterschiedlicher Frequenzen.
• Die Integrationsschrittweite muss sich nach der kleinsten vorkommenden Zeitskala richten.

Innerhalb des Projektes wurde ein allgemeiner Ansatz entwickelt, mit dem unter gewissen Voraussetzungen die verschiedenen Lösungsanteile unterschiedlicher Frequenz getrennt werden können, indem die Lösungen in Funktionen mehrerer Veränderlicher eingebettet werden.

Diese Einbettung ermöglicht die Ausnutzung von Periodizitätsbedingungen, so dass man sich zur Berechnung der mehrdimensionalen Funktionen auf einen kleinen Periodizitätsbereich beschränken kann. Die Auswertung der Funktion mehrerer Veränderlicher auf einem geeigneten Pfad liefert die ursprüngliche Funktion zurück. In den obigen Abbildungen wird dieser Vorgang veranschaulicht.
Um diesen Vorteil auszunutzen, ist ein Einbettungsverfahren entwickelt worden, das die beschreibende gewöhnliche differentiell-algebraische Gleichung eines Schaltkreises in eine partiell-algebraische Differentialgleichung einbettet:

Hierbei ist x der gesuchte Vektor der Knotenspannungen und Zweigströme, q enthält Ladungs- und Flussterme, f stationäre Ströme und Spannungen und b die Eingangssignale. Die Funktion x^ ist die multivariable Einbettung von x, analog b^ von b, und a enthält den Weg der Auswertung. Die Berechnung der Lösung der partiellen Differentialgleichung auf dem Periodizitätsbereich ist unter gewissen Umständen wesentlich günstiger als die Lösung der differentiell-algebraischen Ausgangsgleichung. Dieser Übergang eröffnet neue Blickwinkel, die zur Entwicklung prinzipiell neuer Verfahren führen. Neben der theoretischen Untersuchung werden diese Verfahren implementiert und getestet. Aus diesem Forschungsbereich sind die Dissertation von Barbara Lang und die Diplomarbeit von Henning Lemanczyk entstanden. Weitere Themen dieses Projekts waren:

• Eine Schwierigkeit der Schaltkreissimulation besteht in der zuverlässigen Bestimmung von Grenzzyklen autonomer Schaltungen. Der Einzugsbereich konvergenter Startlösungen für praxisrelevante Schaltungen konnte quantitativ verbessert werden. Ein nächstes Ziel ist die Bestimmung sämtlicher stabiler und instabiler Grenzzyklen autonomer Systeme. Die Stabilitätsuntersuchung erfolgt dabei mittels Floquet-Theorie.
• Der algebraische Aspekt der Schaltkreisgleichungen wurde in bisherigen Simulationspaketen weitgehend ignoriert. Auch in der anwendungsbezogenen mathematischen Forschung werden differentiell-algebraische Gleichungen noch nicht sehr lange intensiv analysiert. Der Einfluss des algebraischen Anteils auf Simulationsergebnisse wird hier untersucht. Das Projekt leistet somit einen Beitrag, die Schaltungssimulation auf weitere Schaltungsklassen auszudehnen bzw. die Simulationsergebnisse auf eine qualitativ höhere Stufe zu stellen.