Sowohl in der Massenspektrometrie(MS) als auch in der Lichtmikroskopie wurden in den letzten Jahren revolutionäre neue Verfahren mit enormer Bedeutung insbesondere für die Biowissenschaften und die Medizin entwickelt. Durch die Etablierung der neuen Methoden und durch neue Anwendungen haben sich die Anforderungen an die Datenanalyse stark verändert. Aufgrund dieser Entwicklung wird eine systematische Weiter- oder Neuentwicklung von Analyseverfahren durch die angewandte Mathematik notwendig. Das BMBF Verbundprojekt INVERS wird diese Lücke schließen, wobei die erarbeiteten Lösungen von den beteiligen Firmen – Leica Microsystems CMS und Bruker Daltonik – direkt umgesetzt werden.

Der Datenanalyse liegen inverse Probleme zugrunde und eine bloße Entfaltung mit herkömmlichen Methoden nutzt nicht alle zur Verfügung stehenden Informationen und liefert keine optimalen Ergebnisse. Dadurch, dass Proben bei nanoskopischer Auflösung oft als sparse Strukturen erscheinen und andererseits die moderne Massenspektrometrie zweidimensionale Spektren liefert, ergeben sich grundlegende methodische Überschneidungen zwischen beiden Anwendungsfeldern. Der mathematische Kern dieses Verbundvorhabens zielt damit auf eine Verbindung der mehrdimensionalen Bildverarbeitung und modellbasierten Bildanalyse mit Methoden der Inversen Probleme und Parameteridentifkation. Entfaltungsprobleme sind darüber hinaus denfinitionsgemäß Multiskalenprobleme, die insbesondere bei der Betrachtung ortsabhängiger Faltungskerne adaptive Methoden erfordern.

Das Projekt "Regularisierung inverser Faltungsgleichungen in Besov-Skalen" ist ein Teilprojekt des Verbundprojekt INVERS. Hier werden die theoretischen Grundlagen für eine Konvergenztheorie inverser Faltungsgleichungen in Besov-Räumen analysiert. Die mathematische Modellierung der Faltungsgleichungen in der Massenspektrometrie erfordert einige Erweiterung der bekannten Theorie: Spektren werden durch eine Folge von Delta-Peaks modelliert (klassische Funktionenräume scheiden damit aus), entrauschte Spektren sind dünn besetzt. Ein mathematisches Modell muss diese 'sparsity'-Beschränkung berücksichtigen. Im Mittelpunkt steht die Untersuchung von linearen Faltungsgleichungen zur Modellierung von MS-Spektren und Lösungen, die über Folgen von Delta-Peaks beschrieben werden. Hierzu werden Glattheitsbedingungen, Strafterme und Diskrepanzterme in Besov-Räumen modelliert.

Die Umsetzung der theoretischen Ergebnisse dieses ersten Teilvorhabens auf Anwendungen für Massenspektrometrie-Daten wird in dem zweiten Teilprojekt "Dekonvolution vs. Shrinkage: Mathematische Methoden für eine verbesserte Peakdetektion" in Kooperation mit Bruker Daltonik geschehen:

Publikationen zu diesem Teilprojekt:

• Dirk A. Lorenz and Dennis Trede, Optimal Convergence Rates for Tikhonov Regularization in Besov Scales, Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 17(1):69—76, 2009. doi: 10.1515/JIIP.2009.008
• Dirk A. Lorenz and Dennis Trede, Optimal Convergence Rates for Tikhonov Regularization in Besov Scales, Inverse Problems. 24:055010 (14pp), 2008. doi: 10.1088/0266-5611/24/5/055010