Bei der Modellierung zahlreicher technischer Vorgänge treten Variationsungleichungen auf. Als Beispiel hierfür sei das inkrementelle Walzen genannt, das unter anderem bei der Glättung thermisch gespritzter Oberflächen eingesetzt wird. Hierbei muss sowohl der Festkörperkontakt zwischen Walze und Werkstück als auch die plastische Verformung des Werkstücks modelliert werden, was jeweils zu einer Variationsungleichung anstelle einer (partiellen) Differentialgleichung führt. Bei einem solchen Walzvorgang ist sicherzustellen, dass auf der einen Seite eine hinreichend große Kontaktkraft auftritt, um die gewünschten Effekte im gewalzten Material zu erreichen. Auf der anderen Seite aber darf die Kraft zur Vermeidung von Schädigungen nicht zu groß werden. Darüber hinaus sind Beschränkungen hinsichtlich der Maschine und der Effizienz des Prozesses zu beachten. Die Aufgabe, den Prozess diesen Voraussetzungen entsprechend auszulegen, führt auf ein Optimalsteuerungsproblem mit Variationsungleichungen als Nebenbedingung.
Um eine solche Problemstellung lösen zu können, ist neben einer Simulation des Prozesses ein Optimierungsalgorithmus basierend auf qualifizierten Optimalitätsbedingungen erforderlich. Ziel des Projektes ist es, einen effizienten Algorithmus mit kontrollierter Genauigkeit zur optimalen Steuerung von Variationsungleichungen zu entwickeln. Dazu müssen verschiedene Fehlerbeiträge abgeschätzt und ausbalanciert werden: Zunächst erfordert der Einsatz von schnellen, ableitungsbasierten Optimierungsalgorithmen eine Regularisierung der Variationsungleichungen. Zudem kann die zugrundeliegende Variationsungleichung nur näherungsweise gelöst werden, wozu im beantragten Projekt die Finite-Elemente-Methode verwendet wird. Auf der Grundlage von zielorientierten a posteriori Fehlerschätzern für den Regularisierungs- und den Diskretisierungsfehler wird ein adaptiver Algorithmus konstruiert, der die Ausbalancierung der beiden Fehleranteile und ihre möglichst optimale Reduktion sicherstellt. Ein solcher Algorithmus ist nach Kenntnisstand der Antragsteller im Falle der optimalen Steuerung von Variationsungleichungen trotz ihrer zahlreichen Anwendungsmöglichkeiten insbesondere in der Mechanik bislang noch nicht entwickelt bzw. analysiert worden.