WiSe 2008/2009

Wissenschaftliches Rechnen

VAK 03-203

Vorlesung: Mittwoch von 13:15 - 15:00 Uhr
Raum: MZH 2270
Freitag von 10:15 - 12:00 Uhr
Raum: MZH 3150
Übung: n.V.
Raum: n.V.
 
Veranstalter: Priv. Doz. Dr. Jörn Behrens (AWI Bremerhaven)
Prof. Dr. Wolfgang Hiller (AWI Bremerhaven)
Prof. Dr. Alfred Schmidt

Inhalt:

Viele Fragestellungen aus Naturwissenschaft und Technik lassen sich nur durch Simulation lösen, wofür mathematische Modelle und Algorithmen zu entwickeln sind. In der Regel müssen dazu auch Vektorrechner oder massiv parallele Rechner zur Lösung eingesetzt werden. Im Wissenschaftlichen Rechnen untersucht man deshalb neben den numerischen Eigenschaften mathematischer Methoden zwei weitere Aspekte: die algorithmische Struktur der Verfahren und die Abbildung dieser Struktur auf die Architektur paralleler Rechnersysteme.

Diese Vorlesung soll einen Einblick in geeignete parallele numerische Verfahren zur effizienten Lösung großer Gleichungssysteme vermitteln. Wir wollen uns dabei hauptsächlich mit Systemen befassen, die bei partiellen Differentialgleichungen auftreten. Dabei sind in der Regel hochdimensionale, aber schwach besetzte, Gleichungssysteme zu lösen. Die schnellsten Löser für solche Systeme kann man durch Mehrgitter-Ansätze und Gebietszerlegungs-Techniken erhalten. Die Zerlegung des betrachteten Gebiets in Teilgebiete und geeignete Kopplung bzw. Kombination von entsprechenden Teilproblemen führt in natürlicher Weise zu parallelisierbaren Algorithmen.

Bei Mehrgitter-Lösern (Multigrid) wird eine hierarchische Aufteilung des Lösungsraumes in gröbere und feinere Anteile (tiefe und höhere Frequenzen) ausgenutzt. Parallelisierungs-Möglichkeiten ergeben sich durch getrennte Bearbeitung der Probleme auf verschiedenen Hierarchien oder durch geschickte Kopplung mit den erwähnten Gebietszerlegungstechniken. Zwei weitere Klassen von Lösern, welche auf Gebietszerlegungstechniken basieren, werden daran unterschieden, ob die Teilgebiete überlappende Ränder haben oder disjunkt sind: die Schwarz-Gebietszerlegungs-Methode und die Schur-Komplement-Methode. Beide Klassen werden im Laufe der Vorlesung vorgestellt. Speziell die Klasse der additiven überlappenden Schwarz-Verfahren (ASM, RASM) lässt sich auch meistens in Kombination mit unvollständiger LU-Zerlegung (ILU(p), ILUT(e,q)) als effizienter robuster Präkonditionierer für Krylovraum-Verfahren einsetzen. Beispiele der Löser stammen aus den Löserbibliotheken AZTEC und PETSC, so dass numerische und parallele Effizienz konkret an Beispielen diskutiert werden kann. Der Einsatz als Präkonditionierer wird zusammen mit CG-Verfahren und den klassischen Krylovraum Verfahren wie BICGStab und GMRES diskutiert.

Voraussetzungen:

Die Vorlesung richtet sich an Studierende der Mathematik, Informatik, Natur- und Ingenieurwissenschaften, die über ein Grundwissen über numerische Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und partiellen Differentialgleichungen verfügen.

Inhaltsverzeichnis:

Das Inhaltsverzeichnis wird laufend ergänzt.

Materialien zur Vorlesung: (Foliensätze etc.)

Literatur:

Begleitend zur Vorlesung empfiehlt sich das Buch von Dongarra et al. zusammen mit dem Buch von Gene Golub et al., eine tiefergehende Einführung in parallele Multilevel Verfahren findet man in dem sehr empfehlenswerten Buch von Smith, B., Bjorstad, P. und Gropp, W. .