ZeTeM Univ. Bremen
- AG Numerik partieller Differentialgleichungen
Vorlesung "Numerik II", WS 2001/02
4 SWS: Di 13-15 MZH 7200, Mi 10-12 MZH 7260
Beginn: 16.10.2001
Übungen dazu: 2SWS, n.V.
Inhalt:
Die Themenschwerpunkte der Vorlesung werden sein:
- Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.
- Numerische Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen,
Bei der Diskretisierung von relevanten Problemen treten oft große
lineare Gleichungssysteme auf, die mit den klassischen
Eliminations-Verfahren nicht mehr (in vernünftiger Zeit) lösbar
sind. Mit Iterationsverfahren ist in angemessener Zeit eine
Näherungslösung berechenbar. In der Vorlesung werden klassische
Verfahren (Gauß-Seidel Iteration etc.) und Krylovraum-Methoden
vorgestellt. Für spezielle Probleme existieren besonders schnelle
Verfahren, die Mehrgitterverfahren, welche zur Lösung eines
Gleichungssystems mit N Unbekannten sogar nur O(N)
Rechenoperationen benötigen.
In fast allen Anwendungsproblemen führen mathematische
Modellierungen auf gewöhnliche oder partielle
Differentalgleichungen, die numerisch gelöst werden
müssen. Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen beschreiben
dabei meist zeitabhängige Prozesse endlich-dimensionaler
Zustandsgrößen, wie z. B. chemische Reaktionenen oder
Planetenbahnbewegungen.
In der Veranstaltung werden wir numerische Verfahren zur Lösung
von gewöhnlichen Differentialgleichungen kennenlernen.
Dabei werden wir die Methoden der in der Veranstaltung `Numerik I'
behandelten grundlegende Einzelthemen als Werkzeuge für die
numerische Behandlung dieser komplexeren Aufgabe benötigen.
Gliederung:
I. Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
- Einleitung und Motivation
- Große, dünn besetzte Matrizen
- Finite Differenzen Approximation der Poisson-Gleichung
- Iterative Löser
- Klassische Iterationsverfahren, Splitting-Methoden
- Jacobi-Iteration, Gesamtschrittverfahren
- Gauss-Seidel-Iteration, Einzelschrittverfahren
- Block-Relaxations-Verfahren
- Über-Relaxation, SOR-Verfahren
- Konvergenzkriterien
- Konvergenz des Gesamtschrittverfahrens
- Konvergenz des Einzelschrittverfahrens
- Konvergenz des SOR-Verfahrens
- Optimale Wahl des Relaxationsparameters
- Projektionsmethoden und Krylov-Unterraum-Verfahren
- Verfahren für symmetrische, positiv definite Matrizen
- Gradientenverfahren
- Verfahren der konjugierten Richtungen
- Verfahren der konjugierten Gradienten, CG-Verfahren
- Konvergenz des CG-Verfahrens
- Krylov-Unterraum-Verfahren für reguläre Matrizen
- Arnoldi-Algorithmus
- FOM-Verfahren (Full Orthogonalization Method)
- GMRES-Verfahren (Generalized Minimum Residual Method)
- Konvergenz des GMRES-Verfahren
- GMRES mit Restart: GMRES(k)
- Verallgemeinerungen und Spezialisierungen der
Krylov-Unterraum-Verfahren:
Householder-GMRES, QGMRES, GCR, Block-Verfahren, BiCG, QMR, CGS,
BiCGstab, CGN, ...
- Vorkonditionierung: Links-, Rechts-,
- Vorkonditionierung der CG und GMRES-Verfahren
- Polynomiale Vorkonditionierer
- Splitting-assoziierte Vorkonditionierer
- Unvollständige LU-Zerlegung (ILU), Incomplete Cholesky
- Hierarchische Vorkonditionierer
- Hierarchische Basen und Mehrgitter-Vorkonditionierer
- Mehrgitter-Löser
II. Numerische Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
- Anfangswertaufgaben, Gitter, Ein- und Mehrschrittverfahren
- Einschrittverfahren
- Eulersches Polygonverfahren und verbessertes Verfahren
- Konvergenz und Konvergenzordnung
- implizite Verfahren
- lokaler Verfahrensfehler
- Konsistenz und Konsistenzordnung
- Konvergenz von Einschrittverfahren
- asymptotische Stabilitiät
- Einschrittverfahren höherer Ordnung
- Taylorverfahren
- Runge-Kutta-Verfahren
- Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung
- Richardson-Extrapolation
- Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren
- Mehrschrittverfahren
- Spezielle lineare Mehrschrittverfahren
- Allgemeine Mehrschrittverfahren
- Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
- Verfahren für Anfangswertprobleme bei steifen Differentialgleichungen
- Besonderheiten steifer Differentialgleichungen
- Stabilitätsbegriffe
- Stabilitätsgebiete von Runge-Kutta-Verfahren
- Stabilitätsgebiete von linearen Mehrschrittverfahren
- Verfahren zur Lösung von Randwertaufgaben
- Randwertaufgaben
- Einfach- und Mehrfachschießverfahren
Voraussetzungen:
Gute Kenntnisse in Analysis, Linearer Algebra, Numerik I.
Für die Programmieraufgaben: Kenntnisse in Matlab und einer höheren
Programmiersprache, am besten C.
Literatur:
Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme,
Vieweg, 1999
Yousef Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems,
PWS Publishing Company, 1996
Peter Deuflhard und Folkmar Bornemann, Numerische Mathematik II,
de Gruyter Lehrbuch, 1994
Helmut Werner und Herbert Arndt,
Gewöhnliche Differentialgleichungen -
Eine Einführung in Theorie und Praxis, Springer Hochschultext, 1986
Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential
Equations, Cambridge University Press, 1996
Aufgabenblätter: (PDF Dateien)
Übung1
Übung2
Übung3
Übung4
Übung5
Übung6
Übung7
Übung8
Übung9
Übung10
Übung11