Inhalt:

Das Ziel einer adaptiven Finite Elemente Methode ist die Berechnung einer Näherungslösung zu einem gegebenen Problem (aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen), so dass einerseits der Fehler zwischen exakter und berechneter Lösung kleiner als eine vorgegebene Toleranz ist und andererseits die Berechnung mit möglichst geringem Aufwand erfolgt. Da i. a. die exakte Lösung nicht bekannt ist, muss der Fehler aus den gegebenen Daten und der aktuellen diskreten Lösung geschätzt werden. Ein Maß für den Aufwand ist z.B. die Anzahl der benötigten Freiheitsgrade und damit die Dimension der zu lösenden Gleichungssysteme. Um diese Anzahl möglichst gering zu halten, werden üblicherweise lokale Verfeinerungen der Rechengitter angewandt. Dadurch kann die Einfügung zusätzlicher Freiheitsgrade auf Bereiche des Gebiets beschränkt werden, in denen die lokalen Fehlerschätzungen sehr groß sind. In der Vorlesung werden sowohl Fehlerschätzer und adaptive Algorithmen als auch Aspekte der Implementierung behandelt. Dabei sollen im ersten Teil lineare stationäre, später zeitabhängige Probleme betrachtet werden. Je nach Interesse der ZuhörerInnen kann auch auf spezielle Anwendungen eingegangen werden.

• Einleitung
• Charakterisierung optimaler Gitter für stationäre Probleme
• Energienorm-Abschätzungen für lineare elliptische Probleme
  • Abstrakte Formulierung der FEM
  • Abstrakte Fehlerabschätzungen
  • Ein Modellproblem: Lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
  • Finite Elemente Diskretisierung
  • Interpolation in H¹ (Clément-Interpolierende)
  • A posteriori Fehlerabschätzung für das Modellproblem
• Adaptive Methoden für stationäre Probleme
  • Quasi-Optimale Gitter
  • Adaptive Strategien zur Gitteroptimierung
  • Algorithmen zur lokalen Modifikation des Rechengitters
  • Konvergenz des adaptiven Algorithmus
• Duale Methoden zur Fehlerschätzung für elliptische Probleme
  • Abschätzungen für die L2-Norm des Fehlers
  • Duale Methoden für allgemeine Fehlerfunktionale
• A Posteriori Fehlerschätzer für parabolische Probleme
  • Ein abstrakter Fehlerschätzer für Evolutionsgleichungen im Hilbertraum
  • Die Wärmeleitungsgleichung
  • Diskretisierung der Wä:rmeleitungsgleichung
  • Fehlerdarstellung und duales Problem
  • A posteriori Fehlerabschätzung
• Adaptive Methoden für parabolische Probleme
  • Quasi-optimale Raum-Zeit-Gitter
  • Adaptive Methoden zur Steuerung der Zeitschrittweite
  • Adaptive Methoden in Zeit und Ort
• Nichtlineare Probleme
  • Stefan-Problem: degeneriert parabolische Gleichung

Praktikum: Aufbauend auf speziellen anwendungsorientierten Kapiteln der Vorlesung sollen im begleitenden Praktikum die numerischen Algorithmen unter Anleitung umgesetzt und angewandt werden. Die organisatorischen Einzelheiten werden in der Vorlesung besprochen.

Voraussetzungen: Gute Kenntnisse aus den Analysis-Grundvorlesungen; Hilfreich sind Kenntnisse über Funktionalanalysis, partielle Differentialgleichungen, Numerik.