Elementare Zahlentheorie und Anwendungen in der Kryptographie

Nach Gauß ist die Mathematik die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie die Königin der Mathematik!

In dieser Vorlesung über Zahlentheorie studieren wir zunächst die ganzen Zahlen, also notwendigerweise auch Gruppen, Ringe, Ideale und endliche Körper. Insbesondere interessieren uns Primzahlen und ihre Eigenschaften. Um auch nicht-triviale Beispiele rechnen zu können, setzen wir das (frei verfügbare) Computeralgebrasystem Pari ein (Pari Programm und Dokumentation, http://pari.math.u-bordeaux.fr/ ).

Eine wesentliche Anwendung der Zahlentheorie ist heute die Kryptographie. Die Sicherheit von Finanztransaktionen, vertraulicher Kommunikation, Digitalen Signaturen zur Herstellung von Rechtsverbindlichkeit im Internet, beruhen auf bestimmten zahlentheoretischen Tatsachen, zum Beispiel, daß zufällige große Primzahlen sich zwar leicht erzeugen lassen, das Produkt von zwei solchen aber nicht wieder faktorisierbar ist.

Ziel der Vorlesung ist es, solche kryptographischen Mechanismen theoretisch zu verstehen, aber auch praktisch handhaben zu können, auch mit kryptographischen Programmpaketen wie z.B. PGP und OpenSSL.

Im Rahmen der Wissenschaftlichen Einheit AlZAGK (Algorithmische Zahlentheorie, Algebraische Geometrie und Kryptographie, http://crypto.math.uni-bremen.de ) wird es auch in den kommenden Semestern Vorlesungen und Seminare geben, die die in dieser Vorlesung angeschnittenen Themen fortsetzen und zu entsprechenden Studienabschlußarbeiten anregen sollen.

Literaturempfehlungen

Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer 1994
K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer 1995/2000
Otto Forster, Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg 1996
E. Bach, J. Shallit, Algorithmic Number Theory, MIT Press 1996
David M. Bressoud, Factorization and Primality Testing, Springer 1989
Johannes Buchmann, Einführung in die Kryptographie, Springer 2001/2003