Prüfungsstoff Lineare Algebra

Wiederholen Sie den Stoff anhand Ihrer Vorlesungsaufzeichnungen, der Übungsaufgaben oder Lehrbüchern zur Linearen Algebra. Lernen Sie jedenfalls die Definitionen und machen Sie sich die Begriffe klar.

Aussagenlogik
Aussagenverknüpfungen, Wahrheitstafel, Tautologien

Mengen
Teilmengen, Potenzmenge, Mengenalgebra, de Morgansche Regeln, geordnete Paare, Relationen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen, Ordnungsrelationen

Abbildungen
injektiv, surjektiv, bijektiv, inverse Abbildung, Verknüpfung von Abbildungen, Bildmengen und Urbildmengen, Mengenalgebra mit Abbildungen, Mächtigkeit von Mengen, abzählbare und überabzählbare Mengen

Gruppen
Beispiele von Gruppen, Untergruppe, Permutationsgruppen, Normalteiler, Linksnebenklassen, Rechtsnebenklassen, Quotientengruppe, Gruppenhomomorphismen, Kern eines Homomorphismus, Index einer Untergruppe, Ordnung eines Elements, Satz von Lagrange, Potenzgesetze, Gruppen­operationen auf Mengen, Orbits

Natürliche Zahlen, Induktion
Peano-Axiome, Rekursive Definition von Addition und Multiplikation, Beweise durch Induktion, Fakultät, Binomialkoeffizienten

Ringtheorie
Beispiele von Ringen, Integritätsringe, Ideale, Quotientenringe, Einheitengruppe eines Ringes
Polynomringe, irreduzible Polynome, Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium, Diskriminante und Resultante, Matrizenringe, Restklassenringe

Körper
Restklassenkörper, Konstruktion endlicher Körper, Charakteristik eines Körpers, rationale, reelle, komplexe Zahlen und Quaternionen, Charakteristik eines Körpers, Konstruktion endlicher Körper, komplexe Zahlen und Quaternionen, algebraische Vollständigkeit des Körpers der komplexen Zahlen

Vektorräume
Unterraum, Quotientenraum, direkte Summe
Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Konstruktion von Basen,
Lineare Abbildungen, Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen, Basistransformation (wie ändert sich die eine lineare Abbildung darstellende Matrix, wenn man zu anderen Basen übergeht?)
Berechnung der inversen Matrix mittels elementarer Zeilenoperationen,
Lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus, Rang einer Matrix, Gruppen invertierbarer Matrizen.

Dualraum, dualer Homomorphismus
bilineare, multilineare Abbildungen,Tensorprodukt, alternierende multilineare Abbildungen, äußeres Produkt, Räume linearer Abbildungen, exakte Sequenzen

Determinante
Bedeutung der Determinante, Berechnung der Determinante durch elementare Umformungen, Produktsatz, Entwicklung nach Zeilen oder Spalten, Inversenberechnung mit Determinanten: Kofaktormatrix A#, AA#=(det A)E

Skalarprodukt
Symmetrische bilineare, positive definite Abbildungen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Euklidische Norm und Metrik, orthogonale Abbildungen bzw. Rotationen, unitäre Abbildungen, Orthonormalbasen, Gram-Schmidtscher Orthonormalisierungsprozeß

Eigenwerte, Eigenvektoren
charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Invarianz dieser Polynome bei Basiswechsel; der Gesamtraum läßt sich schreiben als direkte Summe der verallgemeinerten Eigenräume, der Betrag der Eigenwerte von Rotationen und unitären Abbildungen ist 1. Jordansche Normalform einer reellen oder komplexen Matrix.

Lineare Schieberegisterfolgen
Kriterium für lineare Schieberegisterfolgen maximaler Länge, primitive Polynome

Spektralsatz
Eine symmetrische Matrix mit reellen Koeffizienten besitzt ausschließlich reelle Eigenwerte, und es gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. “Nordwestkriterium” für positive Definitheit einer symmetrischen Matrix.

Projektive Räume
projektive Räume über endlichen Körpern, projektive Geraden und Ebenen, homogene Koordinaten, Modelle für den 2-dimensionalen reellen und den 1-dimensionalen komplexen projektiven Raum, stereo­gra­phi­sche Projektion.

Approximationsmethoden in der Linearen Algebra
Banachscher Fixpunktsatz, Normen und Metriken in Vektorräumen, Skalarprodukt und L2-Norm, Matrixnormen, Spektralradius, Gauß-Seidel Einzelschritt- und Gesamtschrittverfahren.