Prüfungsstoff Lineare Algebra
Wiederholen Sie den Stoff anhand Ihrer Vorlesungsaufzeichnungen, der Übungsaufgaben
oder Lehrbüchern zur Linearen Algebra. Lernen Sie jedenfalls die Definitionen
und machen Sie sich die Begriffe klar.
Aussagenlogik
Aussagenverknüpfungen, Wahrheitstafel, Tautologien
Mengen
Teilmengen, Potenzmenge, Mengenalgebra, de Morgansche Regeln, geordnete Paare,
Relationen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen, Ordnungsrelationen
Abbildungen
injektiv, surjektiv, bijektiv, inverse Abbildung, Verknüpfung von Abbildungen,
Bildmengen und Urbildmengen, Mengenalgebra mit Abbildungen, Mächtigkeit von
Mengen, abzählbare und überabzählbare Mengen
Gruppen
Beispiele von Gruppen, Untergruppe, Permutationsgruppen, Normalteiler,
Linksnebenklassen, Rechtsnebenklassen, Quotientengruppe, Gruppenhomomorphismen,
Kern eines Homomorphismus, Index einer Untergruppe, Ordnung eines Elements, Satz
von Lagrange, Potenzgesetze, Gruppenoperationen auf Mengen, Orbits
Natürliche Zahlen, Induktion
Peano-Axiome, Rekursive Definition von Addition und Multiplikation, Beweise
durch Induktion, Fakultät, Binomialkoeffizienten
Ringtheorie
Beispiele von Ringen, Integritätsringe, Ideale, Quotientenringe,
Einheitengruppe eines Ringes
Polynomringe, irreduzible Polynome, Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium,
Diskriminante und Resultante, Matrizenringe, Restklassenringe
Körper
Restklassenkörper, Konstruktion endlicher Körper, Charakteristik eines Körpers,
rationale, reelle, komplexe Zahlen und Quaternionen, Charakteristik eines Körpers,
Konstruktion endlicher Körper, komplexe Zahlen und Quaternionen, algebraische
Vollständigkeit des Körpers der komplexen Zahlen
Vektorräume
Unterraum, Quotientenraum, direkte Summe
Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Konstruktion von
Basen,
Lineare Abbildungen, Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen,
Basistransformation (wie ändert sich die eine lineare Abbildung darstellende
Matrix, wenn man zu anderen Basen übergeht?)
Berechnung der inversen Matrix mittels elementarer Zeilenoperationen,
Lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus, Rang einer Matrix, Gruppen
invertierbarer Matrizen.
Dualraum, dualer Homomorphismus
bilineare, multilineare Abbildungen,Tensorprodukt, alternierende multilineare
Abbildungen, äußeres Produkt, Räume linearer Abbildungen, exakte Sequenzen
Determinante
Bedeutung der Determinante, Berechnung der Determinante durch elementare
Umformungen, Produktsatz, Entwicklung nach Zeilen oder Spalten,
Inversenberechnung mit Determinanten: Kofaktormatrix A#, AA#=(det A)E
Skalarprodukt
Symmetrische bilineare, positive definite Abbildungen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Euklidische Norm und Metrik, orthogonale
Abbildungen bzw. Rotationen, unitäre Abbildungen, Orthonormalbasen,
Gram-Schmidtscher Orthonormalisierungsprozeß
Eigenwerte, Eigenvektoren
charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Invarianz dieser Polynome bei
Basiswechsel; der Gesamtraum läßt sich schreiben als direkte Summe der
verallgemeinerten Eigenräume, der Betrag der Eigenwerte von Rotationen und unitären
Abbildungen ist 1. Jordansche Normalform einer reellen oder komplexen Matrix.
Lineare Schieberegisterfolgen
Kriterium für lineare Schieberegisterfolgen maximaler Länge, primitive
Polynome
Spektralsatz
Eine symmetrische Matrix mit reellen Koeffizienten besitzt ausschließlich
reelle Eigenwerte, und es gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Nordwestkriterium für positive Definitheit einer symmetrischen Matrix.
Projektive Räume
projektive Räume über endlichen Körpern, projektive Geraden und Ebenen,
homogene Koordinaten, Modelle für den 2-dimensionalen reellen und den
1-dimensionalen komplexen projektiven Raum, stereographische Projektion.
Approximationsmethoden in der Linearen Algebra
Banachscher Fixpunktsatz, Normen und Metriken in Vektorräumen, Skalarprodukt
und L2-Norm, Matrixnormen, Spektralradius, Gauß-Seidel Einzelschritt- und
Gesamtschrittverfahren.