Nach Vorbereitungen in
Logik und Mengenlehre beschäftigen wir uns mit den natürlichen Zahlen und
Induktion, anschließend mit den reellen und komplexen Zahlen als grundlegenden
Objekten der Analysis. Wir betrachten konvergente Folgen und Reihen in diesen Körpern
sowie in reellen und komplexen Vektorräumen und in Banachräumen. Die Begriffe
"metrischer Raum" und "topologischer Raum" erweisen sich als
die richtigen Verallgemeinerungen für Grenzwertbetrachtungen und zur Einführung
und Beschreibung stetiger Funktionen und Abbildungen.
Mit Hilfe reeller und
komplexer Potenzreihen erhalten wir "neue" stetige Funktionen, nämlich
Exponentialfunktion und Logarithmus, trigonometrische und Hyperbelfunktionen. Für
stetige Funktionen über Intervallen führen wir das Riemann-Integral ein und
studieren die obigen "transzendenten" Funktionen mit diesem Werkzeug und mit
Hilfe der Differentialrechnung.
Dabei beginnen wir wie
in der Schule mit Grenzwerten von Differenzenquotienten und betrachten dann die
Ableitung als approximierende lineare Abbildung. Damit können wir ohne
Mehraufwand die Ableitungsregeln sofort in Banachräumen, also auch höheren
Dimensionen, herleiten.
Abstrakte Theorien
werden nicht um ihrer selbst willen entwickelt, sondern um konkrete Beispiele
besser verstehen zu können. Die Untersuchung der Beispiele ist ein wesentlicher
Teil der Vorlesung.
In der Vorlesung und den
Übungen kommt das Computeralgebrasystem Pari/GP zum Einsatz. Es kann kostenlos
von pari.math.u-bordeaux.fr
heruntergeladen werden.
Die Veranstaltung und die Übungen werden über das StudIP-System administriert. Die Teilnehmer werden gebeten, sich möglichst bald eine Benutzer-Kennung des Fachbereichs Mathematik/Informatik (FB3)oder des Zentrums für Netze (ZfN) zu beschaffen, um sich unter elearning.uni-bremen.de für die Vorlesungs-Seiten anmelden zu können.
Prüfungs- und Übungsscheinkriterien werden nach Diskussion in den ersten Vorlesungsstunden festgelegt.
Literaturempfehlungen
Amann, Escher: Analysis 1. Birkhäuser, 2006
Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis.
Walter Rudin: Analysis. Oldenbourg 2005
Hewitt, Stromberg: Real and Abstract Analysis. Springer 1997
Andrew M. Gleason: Fundamentals of Abstract Analysis
K.-B. Gundlach: Infinitesimalrechnung. Vieweg 1974