WiSe 2012

Numerische Lineare Algebra

VAK Nr.03-227

Inhalt:

Fast alle numerischen Probleme in Naturwissenschaft und Technik enthalten als Basisaufgaben die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme, linearer Ausgleichsprobleme oder verschiedener Eigenwertprobleme. Zuverlässige, schnelle und genaue Verfahren zur Lösung dieser Aufgaben sind für die Bearbeitung der Ausgangsprobleme von zentraler Bedeutung.

So erhält man zum Beispiel bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen im Allgemeinen nichtlineare Gleichungssysteme, die meist mittels Newtonverfahren bearbeitet werden, wobei in jedem Newtonschritt ein lineares Gleichungssystem zu lösen ist. Hierfür fällt der Hauptanteil der Rechenzeit an. Fast immer sind diese Gleichungssysteme so groß, dass Standardverfahren nicht verwendet werden können. Es müssen also andere Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme gefunden werden.

In der Numerischen Linearen Algebra untersucht man die oben genannten und weitere Basisaufgaben im Hinblick auf mathematische Struktur und ihre effizienten Lösungen auf dem Rechner, letztlich mit dem Ziel, gute und verlässliche Software-Werkzeuge für ihre Lösung zu entwickeln.

Der besondere Reiz des Gebietes besteht darin, dass hier Kenntnisse und Fertigkeiten aus der Analysis, der linearen Algebra, der Numerischen Mathematik aber auch der Informatik ineinandergreifen müssen, um die anstehenden Probleme zu lösen.

In dieser Vorlesung wollen wir uns in das Gebiet einarbeiten, wobei insbesondere auch der Aspekt der effizienten Implementierung, der Robustheit und der Genauigkeit beleuchtet werden soll. Vorausgesetzt werden solide Kenntnisse des Stoffes der Grundvorlesungen, der Numerik I sowie zur Bearbeitung der Übungsaufgaben Anfangserfahrung im Programmieren mit MATLAB.

Diese Vorlesung kann als Vorbereitung dienen für Bachelorarbeiten über die weiterführenden Themen: nichtlineare Eigenwertprobleme, multilineare Algebra sowie lineare Algebra in der Optimierung oder über Themen in den Anwendungsbereichen: Datenassimilation in der Klima und Ozeanmodellierung, Regelungs- und Steuerungsprobleme sowie Data-Mining.

Literatur:

• J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra, SIAM Publications, Philadelphia, 1997

• L. N. Trefethen, D. Bau, III: Numerical Linear Algebra, SIAM Publications , Philadelphia, 1997

• G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Third Edition, John Hopkins Universtiy Press, Baltimore, 1996

• B. N. Parlett.: The Symmetric Eigenvalue Problem. Unabridged, corrected republication of 1980. Classics in Applied Mathematics. SIAM Publications, Philadelphia, 1998

• Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, SIAM Publications, Philadelphia, 2003 – auch als PDF erhältich

• Y. Saad: Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, Revised Edition, Classics in Applied Mathematics. SIAM Publications, Philadelphia, 2011 – auch als PDF erhältich