Einführung

Steuerung, Zustand, Zielfunktion

Bei der Optimalen Steuerung unterscheidet man prinzipiell zwischen Steuergrößen, auf die direkt Einfluss genommen werden kann, und Zustandsgrößen, die aus den Steuergrößen und den Zustandsgrößen berechnet werden.
In den Beispielen lassen sich Werte für die Steuergrößen einstellen, indem die Maus bei gedrückter linker Maustaste entlang des gewünschten Verlaufs der Steuerung gezogen wird.
Gleichzeitig wird so auch indirekt Einfluss auf die Zustandgrößen genommen. Hauptaufgabe der Optimalen Steuerung ist es zudem, eine vorgegebene Zielfunktion zu minimieren. Der aktuelle Wert der Zielfunktion, der meist der Endwert einer Zustandsgröße ist, wird über dieser Zustandsgröße angezeigt.

Im ersten Beispiel soll die Steuerung u so bestimmt werden, dass der Zustand x(t) zum Zeitpunkt t=1 möglichst groß wird. Die Steuerung darf dabei Werte von -1 bis 1 annehmen:

Freie Anfangswerte, Randwerte

Bei einigen Optimalsteuerungsproblem sind die Anfangswerte für einzelne Zustände nicht vorgegeben. In den Graphen dieser Zustände können diese freien Anfangswerte vorgegeben werden, indem die Maus am linken Rand der Anzeige auf und ab gezogen wird.
Wenn für einzelne Zustände Randwerte eingehalten werden müssen, zeigt ein blauer Pfeil am rechten Rand des Anzeigefensters zu diesem Zustand an, wo der Randwert liegen sollte. Ein roter Pfeil markiert den aktuellen Endzustand. Wird der Randwert ausreichend gut getroffen, erscheint ein grüner Pfeil.

Im nächsten Beispiel soll der Anfangswert einer einfachen Differentialgleichung so bestimmt werden, dass ein vorgegebener Randwert erreicht wird:

Endzeit, Zustandsbeschränkungen

Bei einigen Steuerprozessen ist die Endzeit t_f nicht fest vorgegeben, sondern kann ebenfalls zur Optimierung verändert werden. Oft ist auch die Endzeit die Größe, die minimiert werden soll. Die Endzeit kann über einen eigenen Schieberegler eingestellt werden. Man beachte, dass sich dadurch die Zeitachsen in der Anzeige der Steuerung und der Zustände verändern.
Zustandsbeschränkungen schreiben vor, dass ein bestimmter Zustand über dem ganzen betrachteten Zeitintervall bestimmte Werte nicht über- oder unterschreiten darf. Diese Schranken werden als gestrichelte Balken angezeigt, die rot werden, wenn die Beschränkung verletzt wird.

Im dritten Beispiel soll ein Räuber-Beute-Modell betrachtet werden. Der zu betrachtende Zeitraum kann über den unteren Schieberegler eingestellt werden. Über die Steuerung u(t) können zusätzliche Beutetiere ausgesetzt (u(t) > 0) oder bestehende entfernt werden (u(t) < 0). Ziel ist es, die beiden Populationen in den angegebenen Schranken zu halten.