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Adaptive Wavelet-Frame-Methoden für Operatorgleichungen

Arbeitsgruppe:AG Technomathematik
Leitung: Prof. Dr. Dr. h.c. Peter Maaß ((0421) 218-63801, E-Mail: pmaass@math.uni-bremen.de )
Bearbeitung:
Projektförderung: DFG SPP1324
Projektpartner: Prof. Dr. Stephan Dahlke, Philipps-Universität Marburg; AG Numerik / Wavelet-Analysis
Prof. Dr. Rob Stevenson, Universität Amsterdam
Laufzeit: 09.09.2008 - 08.09.2011
Bild des Projekts Adaptive Wavelet-Frame-Methoden für Operatorgleichungen In diesem Projekt werden optimale adaptive Wavelet-Methoden für komplexe Systeme, spezieller für (nichtlineare) elliptische und parabolische Operatorgleichungen auf Mannigfaltigkeiten, entwickelt. Ein prinzipielles Problem ist hierbei die Konstruktion von geeigneten Waveletsbasen auf den Gebieten. In diesem Projekt werden Varianten von adaptiven Frame-Methoden mit Gebietszerlegungsmethoden kombiniert. Die Ziele des Projektes sind zusammengefasst:
  • Die Verallgemeinerung des Konzeptes der Tensorproduktapproximation auf Nicht-Produkt-Gebiete mittels Gebietszerlegungsmethoden. Die Konstruktion von adaptiven Wavelets- bzw. Frame-Methoden die die gleiche Rate der besten N-Term-Approximation erreichen. Es gibt dabei zweierlei Gewinne: Konvergenzraten die von der Dimension unabhängig sind und die optimale Konvergentrate für Lösungen welche nur begrenzte Glattheit in Besov-Räumen haben.
  • Die Verbindung der Ergebnisse mit adaptiven Regularisierungsmethoden, speziell bei Parameteridentifikationsproblemen bei nichtlinearen parabolischen Gleichungen.
Konkreter sind die Ziele wie folgt:
  1. Adaptive Tensor-Produkt-Wavelet-Methoden für elliptische Operatorgleichungen: Das Ziel ist die Entwicklung einer adaptiven Wavelet-Methode die die gleiche Rate der besten N-Term-Approximation erreichen. Die Ergenisse sollen auf nichtlineare und vektorwertige Gleichungen verallgemeinert werden.
  2. Adaptive Tensor-Produkt Wavelet-Methode für parabolische Gleichungen: Es werden zwei Methoden entwickelt und getestet: eine Variante von Rothe's Methode und kürzlich entwickelte adaptive Raum-Zeit-Verfeinerungen.
  3. Parameteridentifikation mit Sparsity Constraints für parabolische Problems. Die Techniken aus den ersten beiden Schritten sollen auf Parameteridentifikationsprobleme angewendet werden, bei dem das Vorwärtsproblem durch eine nichtlineare Gleichung gegeben ist. Das Modellproblem ist hierbei ein semilineares parabolischen Problem welches die Musterbildung in der Entwicklung der Drosophila blastoderms beschreibt.
  4. Numerische Umsetzung und Anwendung in Embryogenesis: Wir planen die Entwicklung und Implementierung effizienter Algorithmen zur Indentifikation von unbekannten Parametern aus den Messwerten. Zumindest für das Vorwärtsproblem sollen die adaptiven Löser eingesetzt werden. Das Inverse Problem soll mit Gradienten- oder Newton-artigen Verfahren gelöst werden.