SoSe 2015

Numerische Lineare Algebra 2: Anwendungen

VAK Nr.03-226b

Inhalt:

Die numerische Simulation und Lösung von Problemen in Naturwissenschaft und Technik erfolgt in den meisten Fällen über Linearisierungen der Probleme und anschließender numerischer Lösung dieser linearsierten Probleme mithilfe der sehr effizienten und ausgefeilten Methoden der Numerischen Linearen Algebra wie etwa der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme, lineare Ausgleichsprobleme oder der numerischen Berechnung von Matrixzerlegungen wie zum Beispiel der QR- Zerlegung oder der Singulärwertzerlegung.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit drei speziellen Anwendungsgebieten befassen, und zwar der System- und Regelungstheorie (auch: Kontrolltheorie), der inversen, schlecht gestellten Problem und der Datenassimilation.

In der System- und Regelungstheorie untersucht man dynamische Systeme, deren Verhalten durch Eingangsgrößen von außen beeinflusst werden können, wie zum Beispiel Schaltkreise in der Elektrotechnik, biologische oder ökonomische Systeme.

Bei inversen Problemen möchte man aus messbaren Wirkungen eines Systems Größen in dem mathematischen Modell des Systems berechnen, die diese Wirkungen verursachen. Beispiele dafür sind etwa die Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit durch Messung der Temperaturen am Rand eines Körpers oder die Rekonstruktion medizinischer Bilder bei der Computertomo-graphie. Diese Probleme sind oft schlecht gestellt, d.h. beliebig kleine Fehler in den Daten können zu beliebig großen Abweichungen in der Lösung führen, so dass spezielle mathematische Techniken zur stabilen Approximation der Lösung erforderlich sind.

Datenassimilation verwendet man im Bereichen wie der Wettervorhersage, der Klima-und Ozeanmodellierung oder der Suche nach Öl-oder Mineralstoffen und vielem anderen. Die Aufgabe besteht darin, Parameter in einem vorhandenen aber (durch Messungenauigkeiten, ungenaue Kenntnis von Parametern usw. ) stark fehlerbehaftet mathematischen Modell mithilfe von nicht allzu reichlich vorhandenen Messdaten zu verbessern, um auf diese Weise ein genaueres und aussagekräftigeres Modell oder bessere Simulationsergebnisse zu erhalten. Datenassimilationsprobleme kann man als spezielle inverse Probleme aber auch als spezielle Probleme der Kontrolltheorie auffassen.

Diese Vorlesung gibt einen Einblick in die Aufgaben und Probleme der linearen Kontrolltheorie, der linearen inversen schlecht gestellten Probleme und der Datenassimilation und befasst sich mit deren numerischer Lösung. Die zugehörigen Übungen werden auch mithilfe von entsprechenden MATLAB Toolboxen die Lösungsmethoden und eventuelle Schwierigkeiten in diesen drei Bereichen beleuchten.

Diese Vorlesung bietet eine sehr gute Grundlage für Master-und Bachelorarbeiten über numerisch-mathematische Methoden in diesen drei Anwendungsbereichen.

Vorausgesetzt werden solide Kenntnisse des Stoffes der Grundvorlesungen, der Numerik I und II, Grundkenntnisse der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen sowie Kenntnisse der Methoden der Numerischen Linearen Algebra. Letztere können auch im Laufe des Semesters noch erworben werden. Für die Bearbeitung der Übungsaufgaben ist Programmierung mit MATLAB erforderlich

Literatur und Links:

• H.W. Knobloch, H. Kwakernaak. Lineare Kontrolltheorie. Springer-Verlag, Berlin, 1985.

• V. Mehrmann. Skript zur Vorlesung Kontrolltheorie, TU Berlin, SS 2004.

• P. Benner. Skript zur Vorlesung Mathematische System-und Regelungstheorie. TU Chemnitz, SS 2009.

• A.C. Antoulas. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM, Philadelphia, PA, 2005.

• P. C. Hansen, Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion, SIAM, Philadelphia, 1998.

• P. C. Hansen, Regularization Tools Version 4.0 for Matlab 7.3, Numerical Algorithms, 46 (2007), pp. 189-194.