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Zubovs Methode für Systeme mit Eingängen

Leitung: Prof. Dr. Fabian Wirth
Bearbeiter:
Projektpartner: Prof. Dr. Lars Grüne, Universität Bayreuth
Dr. Fabio Camilli, Università di L'Aquila, Italien
Laufzeit: seit 01.01.1998
Bild des Projekts Zubovs Methode für Systeme mit Eingängen Eines der grundlegenden Probleme in der Stabilitätstheorie nichtlinearer Systeme betrifft die Bestimmung des Einzugsbereichs von asymptotisch stabilen Objekten, im einfachsten Fall Fixpunkten. Für den Entwurf nichtlinearer Systeme ist diese Menge das interessante Objekt, das aber im Allgemeinen nur schwer bestimmbar ist. Ein wesentlicher Durchbruch in der Theorie nichtlinearer Systeme bestand in Zubovs Resultat in den sechziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts, in dem eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung angegeben wird, mit der eine maximale Lyapunov-Funktion auf dem Einzugsbereich berechnet werden kann. Insbesondere können mit diesem Verfahren Näherungen des Einzugsbereichs numerisch bestimmt werden. In früheren Arbeiten in diesem Projekt wurde Zubovs Methode auf Systeme mit zeitvarianten oder stochastischen Störungen ausgedehnt. Dabei wurde gezeigt, dass eine Erweiterung von Zubovs Gleichung eine partielle Differentialgleichung liefert, deren eindeutige Lösung im Viskositätssinn eine maximale Lyapunov-Funktion auf dem robusten Einzugsbereich liefert.
Zubovsmethode
Robuster Einzugsbereich eines Fixpunktes
In einem weiteren Schritt konnte dieses Verfahren auf die Berechnung von Kontroll- Lyapunov-Funktionen erweitert werden. Diese Klasse von Funktionen spielt in der nichtlinearen Regelungstheorie der letzten zehn Jahre eine herausragende Rolle: seit gezeigt wurde, dass ihre Existenz zur asymptotischen Nullkontrollierbarkeit eines Systems äquivalent ist, und seitdem Verfahren entwickelt wurden, die stabilisierende Rückkopplungen auf Basis der Kenntnis einer Kontroll-Lyapunov-Funktion angeben können. Für den Fall deterministischer und stochastischer Kontrollsysteme wurde im Berichtszeitraum eine Erweiterung von Zubovs Methode entwickelt, mit der maximale Kontroll-Lyapunov- Funktionen auf dem Bereich der asymptotischen Nullkontrollierbarkeit charakterisiert werden können. Verfahren zur numerischen Berechnung der entsprechenden Funktionen wurden angegeben. Wie im Fall der Systeme mit Störungen sind Lösungen der Zubov-Gleichung im Viskositätssinne zu verstehen. Zum Beweis des Resultats mussten Methoden aus der Theorie der Viskositätslösungen weiterentwickelt werden und es wurden Verfahren der optimalen Steuerung entwickelt, um den Bereich der asymptotischen Nullkontrollierbarkeit zu charakterisieren.