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Ordnungsreduktion zur Modellbildung von Dämpfungseffekten in der Mikromechanik

Arbeitsgruppe:Ehemalige AG Numerik
Leitung: Prof. Dr. Angelika Bunse-Gerstner ((0421) 218-63831, E-Mail: bunse-gerstner@math.uni-bremen.de)
Bearbeiter: Dr. Caroline Böß
Projektförderung: Zentrale Forschungsförderung Uni Bremen
Projektpartner: Prof. Dr. Rainer Laur, ITEM, Universität Bremen
Laufzeit: 01.10.2003 - 30.09.2007
Bild des Projekts Ordnungsreduktion zur Modellbildung von Dämpfungseffekten in der Mikromechanik Zur Erfassung von Messgrößen wie der Beschleunigung oder der Drehgeschwindigkeit werden mikromechanische Sensoren (Inertialsensoren) mit beweglichen Strukturen mit Abmessungen im µm-Bereich eingesetzt. Bei solch schwingenden Strukturen treten aufgrund der zwischen den beweglichen und den starren Elementen eingeschlossenen Fluide bzw. Gase Dämpfungseffekte auf, die sich als Folge der irreversiblen Energieumwandlung in einem Schwingsystem ergeben. Die Behandlung der Gasdämpfung, insbesondere im Fall ausgedünnter Gase, steht bisher nur auf einer mehr oder weniger empirischen Grundlage. Ein wichtiges Kriterium zur mathematischen Beschreibung von Strömungen ist die so genannte Knudsen-Zahl Kn. Unter dieser Kennzahl versteht man das Verhältnis der freien Weglänge zu den geometrischen Abmessungen des Systems. Die freie Weglänge ist definiert als die Strecke, die ein Teilchen im Mittel zwischen zwei aufeinander folgenden Zusammenstößen mit einem anderen Teilchen zurücklegt. Die Charakterisierung einer Fluid- Strömung erfolgt in Abhängigkeit von der Knudsen-Zahl Kn durch das Kontinuum-Modell, die Gleitströmung und das kinetische Modell.
Daempfung Daempfung
Innerhalb des Kontinuum-Bereichs (Kn<0.01) basieren numerische Modelle im Wesentlichen auf Differentialgleichungen, wie z.B. den Navier-Stokes-Gleichungen bzw. für sehr einfache Betrachtungen auch auf der Eulerschen Gleichung. Für geringe Spalthöhen, d.h. eine vertikale Strömungskomponente ist nicht existent, wird die aus der Schmierfilmtheorie bekannte Reynolds-Gleichung verwendet. Strömungen im Übergangsbereich basieren zumeist auf der Boltzmann-Gleichung. Hierfür sind bereits einige effiziente numerische Verfahren bekannt. Im Mittelpunkt dieses Projekts steht der Bereich der rein molekularen Strömung (Kn>>1), weil dabei die meisten bekannten Verfahren ihre Gültigkeit verlieren bzw. nur sehr eingeschränkt anwendbar sind. Daher muss auf die Molekularkinetik zurückgegriffen werden, welche die Trajektorien jedes einzelnen Teilchens verfolgt. Die daraus resultierende Datenmenge (ca. 27 Mio. Teilchen pro Mikron bei Luft) würde einen inakzeptablen Rechenaufwand bedeuten.

In diesem Projekts werden Kompaktmodelle, bzw. Modelle reduzierter Ordnung, entwickelt, die das Eingangs-Ausgangs-Verhalten des Strömungssystems, d.h. seine Beeinflussung durch andere Komponenten des Gesamtsystems sowie die daraus folgende Auswirkung auf andere Komponenten des Gesamtsystems, näherungsweise wiedergeben, um so in das Gesamtsystem integriert werden zu können. Eine Möglichkeit zur Extraktion von solchen Kompaktmodellen besteht in der Entwicklung von äquivalenten (gekoppelten) linearen Netzwerken sehr viel kleinerer Dimension, die das Systemverhalten des Ursprungssystems näherungsweise wiedergeben. Diese Methoden werden als Modellreduktion bezeichnet. Die bekannten Modellreduktionstechniken basieren auf der Annahme, dass das System durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden kann. Bei differentiell- algebraischen Gleichungssystemen sind sie allerdings nicht anwendbar. Daher sind Modellreduktionsmethoden und numerische Verfahren zu entwickeln, die in der Lage sind, differentiell-algebraische Gleichungen zu verarbeiten. Die Schwerpunkte dieses Projektes liegen in den folgenden Aufgabenstellungen:
  • Entwicklung eines Referenzmodells, an dem die Methoden und Verfahren getestet werden können. Erforderlich ist hierfür eine Anpassung des DSMC-Modells auf die mikrosystemtechnischen Gegebenheiten.
  • Entwicklung und Untersuchung von Methoden des balancierten Abschneidens für diese Probleme. Es wird untersucht, wie sich die in anderen Anwendungsbereichen günstigen Methoden des balancierten Abschneidens für die hier vorliegende Problemklasse adaptieren und anwenden lassen.