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Institut für Statistik, SS2001
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Seminar über Martingalkonvergenzsätze VAK 03-302
Termin: Mi 13-15
Ort: MZH 6340
Beginn: 11. April 2001 (1. Vorlesungswoche)
Die Veranstaltung richtet sich an Studierende der Mathematik
(Diplom).
Inhalt
Martingale haben ihren Ursprung in der Spieltheorie.
Dort beschreibt die n-te Zufallsvariable das Vermögen eines Spielers nach
n Runden eines "fairen" Spiels:
Es bleibt bei der nächsten Runde im Schnitt unverändert, ganz gleich
wie es sich bis dahin entwickelt hat. Wächst es dagegen im Schnitt,
ist das Vermögen ein "Submartingal" und das Spiel (für den Spieler)
"günstig". Abgesehen von der spieltheoretischen Interpretation
verkörpern Martingale vor allem ein starkes Werkzeug zur
Charakterisierung und Analyse verschiedenster Zeitreihen. In diesem Seminar
sollen die wichtigsten Konvergenzresultate vorgestellt und ein erster Einblick
in die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der Martingaltheorie
vermittelt werden. Einige Themen, die im Rahmen dieses Seminars behandelt
werden sollen, wären z.B.:
- Optional Sampling Theorem
(Gibt es Spielesysteme? Also: Wird ein faires Spiel günstig, wenn der
Spieler eine geeignete Strategie wählt, bei der er in Abhängigkeit
vom bisherigen Verlauf des Spiels beim nächstenmal aussetzt oder nicht?)
- Submartingal-Konvergenzsatz
(Wann konvergiert ein Submartingal fast sicher gegen eine
Zufallsvariable?)
- Geichmäßig integrierbare Martingale/Konvergenzsatz
nach Levy
(Die bedingten Erwartungswerte einer integrierbaren Zufallsvariablen
auf eine steigende Folge von Sigma-Algebren - die natürlich ein
Martingal bilden - konvergieren fast sicher.)
- Konvergenz von Reihen
(Anwendung der Martingaltheorie auf Summen von unabhängigen, identisch
verteilten Zufallsvariablen; Bsp. "Random Walk".)
- Markov-Ketten und Verzweigungsprozesse
(Anwendung der Martingaltheorie auf Zeitreihen und sich verzweigende
Zeitreihen wie z.B. die Anzahl der Nachkommen in der n-ten Generation;
wann ist mit dem Aussterben einer bestimmten Gattung zu rechnen?)
Je nach Themenwahl und Ausrichtung des Vortrags können Seminarscheine aus
den Bereichen Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie (B) sowie
Statistik und Zeitreihenanalyse (C,D) erworben werden.
Voraussetzung
Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Literatur
[1] Ash, R.B.: Real Analysis and Probability, Academic Press, 1972.
[2] Ash, R.B. & Doleans-Dade, C.A.:
Probability and Measure Theory, 2nd ed., Academic Press, 2000
(Neuauflage von Ash, 1972).
[3] Chung, K.L.: A Course in Probability Theory, Academic Press, 1974.
[4] Durrett, R.: Probability: Theory and Examples, 2nd ed.,
Duxbury Press, 1995.
Universität Bremen
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[Webmaster]
[Uschi Müller] Feb. 2001