Satz von Desargues

"Wenn sich die Verbindungsgeraden entsprechender Eckpunkte von zwei Dreiecken ABC und A'B'C' in einem Punkt P schneiden, dann liegen die Schnittpunkte der Verlängerungen entsprechender Dreiecksseiten auf einer Geraden."

Bewegliche Objekte:
A, B, C: Dreieck ABC
P: Schnittpunkt der Verbindungspunkte entsprechender Eckpunkte
A', B', C': Dreieck A'B'C' (auf AP, BP bzw. CP)

Abhängige Objekte:
R, S, T: Schnittpunkte der verlängerungen entsprechender Dreiecksseiten.
g: Auf dieser Geragen liegen die drei Punkte R, S und T..

Bewege die Punkte A, A', B, B', C und C'. Welche der Punkte R, S, T bewegen sich?
Beachte, dass R, S und T immer auf der Geraden g liegen!

Rote Linien

Grüne Linien

Rotes Dreieck

Grünes Dreieck

\frac{C'V }{B'V} *  \frac{ B'B}{ZB } *  \frac{ ZC}{C'C }  =                1

\frac{A'U }{C'U} *  \frac{ C'C}{ZC } *  \frac{ ZA}{A'A }  =                1

 \frac{B'W }{A'W} *  \frac{ A'A}{ZA } *  \frac{ ZB}{B'B }  =                1

\frac{B'W }{A'W} *  \frac{ A'U}{C'U } *  \frac{ C'V}{B'V }  =                1

Formeln

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Verbindungsgeraden

Hilfssatz Menelaos 1: Δ WBB’

Hilfssatz Menelaos 2: Δ UCC’

Beweis Desargues mit Menelaos: Δ WVB’

Hilfssatz Menelaos 3: Δ VC’C

Berechnung

Z = (6.578723954870447, 8.692069443167572)
C = (10.985641872025433, -33.82936195552031)
c = Line(C, Z)
C' = Point(c)
A = (0.8586703818487897, -40.933260203858154)
b = Line(A, Z)
A' = Point(b)
j = Line(A', C')
i = Line(A, C)
U = Intersect(i, j)
UC' = Segment(U, C')
UA' = Segment(U, A')
B = (21.96103018502328, -38.073233417347346)
a = Line(B, Z)
B' = Point(a)
e = Line(B', C')
h = Line(A', B')
d = Line(B, C)
V = Intersect(d, e)
VB' = Segment(V, B')
VC' = Segment(V, C')
g_1 = Line(A, B)
W = Intersect(g_1, h)
WA' = Segment(W, A')
WB' = Segment(W, B')
UC'_2 = Segment(U, C')
WB'_1 = Segment(W, B')
poly1, c_1, a_1, b_1 = Polygon(B, A, C)
poly2, b', a', f = Polygon(B', C', A')
g = Line(W, V)
VC'_3 = Segment(V, C')
VB = Segment(V, B)
UA = Segment(U, A)
WA = Segment(W, A)
VC = Segment(V, C)
UC = Segment(U, C)
k = true
g_2 = true
l = true
m = true
A'AZA: Segment[A', A] / Segment[Z, A]
ZBB'B: Segment[Z, B] / Segment[B', B]
C'UA'U: Segment[C', U] / Segment[A', U]
ZCC'C: Segment[Z, C] / Segment[C', C]
B'VC'V: Segment[B', V] / Segment[C', V]
ZA_1 = Segment(Z, A)
ZB_1 = Segment(Z, B)
ZC_2 = Segment(Z, C)
ZA_2 = Segment(Z, A)
ZB_3 = Segment(Z, B)
ZC_3 = Segment(Z, C)
VC'_4 = Segment(V, C')
WB'_4 = Segment(W, B')
UC'_4 = Segment(U, C')
r = false
text6: " " + WB'_1
text7: " " + WA'
text8: " " + UA'
text9: " " + UC'_2
text10: " " + VC'
text11: " " + VB'
poly3, c', u, c_2 = Polygon(U, C, C')
o = true
poly4, b'_1, w, b_2 = Polygon(W, B, B')
poly6, b'_3, w_1, v_1 = Polygon(W, V, B')
n = false
p = false
z = false
poly5, c'_1, v, c_3 = Polygon(V, C, C')
q = false
text5: "= " + (WB' / WA' UA' / UC' VC' / VB')
ZA = Segment(Z, A)
ZB = Segment(Z, B)
ZC = Segment(Z, C)
t = false