Die Catalanischen Körper sind die dualen Körper zu den Archimedischen Körpern. Daher gibt es 13 Catalanische Körper. Benannt sind sie nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan.
Die Dualität gilt in dem Sinn, dass jedem Eckpunkt eines Körpers eine Fläche im dualen Körper entspricht. Die Catalanischen Körper sind aber nicht so definiert, dass alle ihre Ecken genau im Mittelpunkt einer Seite des zugehörigen Archimedischen Körpers liegt. Bei diesem Vorgehen würde man z.B. beim gestumpften Hexaeder keinen konvexen Körper erhalten.
Jeder Archimedische Körper hat eine Umkugel. An diese legt man in den Eckpunkten Tangentialebenen. Die Tangentialebenen, die zu den Ecken eines Oberflächenpolygons gehören (z.B. zu einem Sechseck des gestumpften Tetraeders) schneiden sich aus Symmetriegründen in einem Punkt, der senkrecht über dem Mittelpunkt des Oberflächenpolygons liegt. Dieses sind die Eckpunkte des Catalanischen Körpers.
Folgerungen:
- Jeder Catalanische Körper hat eine Inkugel.
- Alle Seitenflächen sind kongruent zueinander.
- Alle Seitenflächen sind unter dem gleichen Winkel zueinander
geneigt.
Die Bilder in der nachfolgenden Tabelle zeigen den Catalanischen
Körper als (weißes) Kantenmodell um den zugehörigen
Archimedischen Körper.
Zu jedem Körper gibt es hier Bastelbögen. Die Dateien sind PDFs,
die jeweils auf eine oder zwei DIN A4 Seite(n) gedruckt werden
können.
Name | Bild | Flächen | Ecken | Kanten | dual
zu |
Flächenelement | Bastelbogen Bild | Link zum Bastelbogen |
Triakis-tetraeder |
12 | 8 | 18 | gestumpftes
Tetraeder |
z.Zt noch in Arbeit | 1
Seite |
||
Tetrakis-hexaeder |
24 | 14 | 36 | gestumpftes
Oktaeder |
1
Seite |
|||
Triakis-oktaeder |
24 | 14 | 36 | gestumpftes
Hexaeder |
1
Seite |
|||
Rhomben-dodekaeder |
12 | 14 | 24 | Kuboktaeder |
1
Seite |
|||
Hexakis-oktaeder |
48 | 26 | 72 | gestumpftes Kuboktaeder | 2
Seiten |
|||
Deltoid-ikositetraeder |
24 | 26 | 48 | Rhomben-kuboktaeder | 1
Seite 2 Seiten |
|||
Pentagon-ikositetraeder |
24 | 38 | 60 | abgeschrägtes Hexaeder | 2
Seiten |
|||
Pentakis-dodekaeder |
60 | 32 | 90 | gestumpftes Ikosaeder | 2
Seiten |
|||
Triakis-ikosaeder |
60 | 32 | 90 | gestumpftes
Dodekaeder |
2
Seiten |
|||
Rhomben-triakontaeder |
30 | 32 | 60 | Ikosi-dodekaeder | 1
Seite 2 Seiten |
|||
Hexakis-ikosaeder |
120 | 62 | 180 | gestumpftes Ikosidodekaeder | 2
Seiten (Dodeka) 2 Seiten (Ikosa) |
|||
Deltoid-hexakontaeder |
60 | 62 | 120 | Rhomben-ikosidodekaeder | 2
Seiten |
|||
Pentagon-hexakontaeder | 60 | 92 | 150 | abgeschrägtes Dodekaeder | 3
Seiten |
Link zu einem Animationsfilm, der durch alle 13 Archimedischen und Catalanischen Körper führt.