Die Catalanischen Körper

Die Catalanischen Körper sind die dualen Körper zu den Archimedischen Körpern. Daher gibt es 13 Catalanische Körper. Benannt sind sie nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan.

Die Dualität gilt in dem Sinn, dass jedem Eckpunkt eines Körpers eine Fläche im dualen Körper entspricht. Die Catalanischen Körper sind aber nicht so definiert, dass alle ihre Ecken genau im Mittelpunkt einer Seite des zugehörigen Archimedischen Körpers liegt. Bei diesem Vorgehen würde man z.B. beim gestumpften Hexaeder keinen konvexen Körper erhalten.

Erzeugende Definition

Jeder Archimedische Körper hat eine Umkugel. An diese legt man in den Eckpunkten Tangentialebenen. Die Tangentialebenen, die zu den Ecken eines Oberflächenpolygons gehören (z.B. zu einem Sechseck des gestumpften Tetraeders) schneiden sich aus Symmetriegründen in einem Punkt, der senkrecht über dem Mittelpunkt des Oberflächenpolygons liegt. Dieses sind die Eckpunkte des Catalanischen Körpers.

Folgerungen:
- Jeder Catalanische Körper hat eine Inkugel.
- Alle Seitenflächen sind kongruent zueinander.
- Alle Seitenflächen sind unter dem gleichen Winkel zueinander geneigt.

Informationen und Bastelbögen

Die Bilder in der nachfolgenden Tabelle zeigen den Catalanischen Körper als (weißes) Kantenmodell um den zugehörigen Archimedischen Körper.
Zu jedem Körper gibt es hier Bastelbögen. Die Dateien sind PDFs, die jeweils auf eine oder zwei DIN A4 Seite(n) gedruckt werden können.

Name Bild Flächen Ecken Kanten dual zu
Flächenelement Bastelbogen Bild Link zum Bastelbogen
Triakis-tetraeder
12 8 18 gestumpftes Tetraeder
z.Zt noch in Arbeit 1 Seite
Tetrakis-hexaeder
24 14 36 gestumpftes Oktaeder

1 Seite
Triakis-oktaeder

24 14 36 gestumpftes Hexaeder

1 Seite
Rhomben-dodekaeder

12 14 24 Kuboktaeder

1 Seite
Hexakis-oktaeder

48 26 72 gestumpftes Kuboktaeder
2 Seiten
Deltoid-ikositetraeder

24 26 48 Rhomben-kuboktaeder
1 Seite

2 Seiten
Pentagon-ikositetraeder

24 38 60 abgeschrägtes Hexaeder
2 Seiten
Pentakis-dodekaeder

60 32 90 gestumpftes Ikosaeder
2 Seiten
Triakis-ikosaeder

60 32 90 gestumpftes Dodekaeder

2 Seiten
Rhomben-triakontaeder

30 32 60 Ikosi-dodekaeder
1 Seite

2 Seiten
Hexakis-ikosaeder

120 62 180 gestumpftes Ikosidodekaeder
2 Seiten (Dodeka)

2 Seiten (Ikosa)
Deltoid-hexakontaeder

60 62 120 Rhomben-ikosidodekaeder
2 Seiten
Pentagon-hexakontaeder
60 92 150 abgeschrägtes Dodekaeder
3 Seiten

Link zu einem Animationsfilm, der durch alle 13 Archimedischen und Catalanischen Körper führt.