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Fulltext:




Mathematisches und
Mathematikdidaktisches
Kolloquium
Institut für Mathematik
14. Mai 2014
Vortrag im Rahmen des
Mathematischen und
Mathematikdidaktischen Kolloquiums:
Prof. Dr. Franz-Viktor Kuhlmann
(University of Saskatchewan, Kanada)
,,Ball spaces"
Abstract: Im Jahr 1990 bewies S. Prieß-Crampe eine
ultrametrische Version des Banachschen Fixpunktsatzes.
Ultrametriken sind Metriken mit verschärfter Dreiecksungleichung, in denen z. B. jedes Dreieck mindestens zwei
gleiche Seiten hat. Die in der algebraischen Zahlentheorie unentbehrlichen p-adischen Metriken sind alle ultrametrisch. Der ultrametrische Fixpunktsatz ist für Beweise
in der Bewertungstheorie sehr hilfreich und ermöglicht
uns, das diesen Beweisen zugrundeliegende wesentliche
Prinzip besser zu verstehen.
Diesen Blick auf das Wesentliche kann man noch verschärfen, indem man nach dem gemeinsamen Nenner
metrischer und ultrametrischer Fixpunktsätze fragt und
auch die möglichen Beziehungen zu topologischen Methoden nicht außer Acht lässt. Der Banachsche Fixpunktsatz erfordert die Vollständigkeit des metrischen Raumes;
die analoge Bedingung für den ultrametrischen Raum ist
die sphärische Vollständigkeit, die besagt, dass jede
durch Inklusion total geordnete Kollektion nichtleerer
ultrametrischer Bälle einen nichtleeren Durchschnitt hat.
Inspiriert durch ultrametrische Räume haben meine Frau
Katarzyna und ich einen allgemeinen Ansatz für den
Beweis von Fixpunktsätzen entwickelt, dessen so einfache wie effiziente Grundidee ist, die Bedingung der
sphärischen Vollständigkeit auf beliebig ausgewählte
Teilmengen ("Bälle") einer beliebigen Menge anzuwenden. Wichtige Vollständigkeitseigenschaften lassen sich
dann durch diese Bedingung beschreiben. So ist z. B. ein
topologischer Raum kompakt genau dann, wenn er sphärisch vollständig in Bezug auf alle nichtleeren abgeschlossenen Mengen ist.
Wir beweisen grundlegende Fixpunktsätze, die dann
durch die spezifische Wahl der Bälle zu Anwendungen
(teils neu, teils wohlbekannt) in verschiedenen Gebieten
spezialisiert werden können. Der gemeinsame Nenner
erlaubt es außerdem, klassische Resultate aus einem
Gebiet zu einem anderen zu transferieren, wo sie bisher
nicht bekannt waren. Beispiele dafür sind der Satz von
Knaster und Tarski aus dem Bereich der vollständigen
Verbände und der Satz von Tychonoff über Produkte
kompakter topologischer Räume.
Ort: Universität Oldenburg
Standort Wechloy
(Carl-von-Ossietzky-Straße)
Raum W1 0-006
Zeit: Mittwoch, den 14.05.2014,
17 Uhr c.t.
Kaffee/Tee 16:45 Uhr im Raum
W1 2-213
Zu dieser Veranstaltung laden wir Sie herzlich ein.

Oldenburg-Invitation to the Math-Coloquium and Math-Didaktics-Coloquium at 5/14/2014
Oldenburger Einladung zum Mathe-Kolloquium und Mathe-Didaktik-Kolloquium am 14.5.2014


 



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