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Fulltext:




Einladung zum
Mathematischen Kolloquium
in Kooperation mit dem ,,ZARM-Seminar", dem ,,Bremen-Oldenburger
Relativitätstheorieseminar" und dem Institut für Theoretische Physik
Fachbereich Mathematik
Am Dienstag, 16. November 2010
spricht
Prof. Dr. Yuri Fedorov
Polytechnic University of Catalonia
über
Integrable ellipsoidal billiards with separable polynomial potentials and
billiards on quadrics
One of the best known discrete integrable systems is the billiard inside an n-dimensional ellipsoid (more
generally, a quadric) Q, called the Birkhoff billiard.
The billiard inherits the remarkable property of geodesics on Q given by the Chasles theorem: the
continuations of the trajectories before and after impacts along Q are simultaneously tangent to n quadrics that
are confocal to Q. The parameters of these quadrics are first integrals of the discrete system.
It is known that the complex invariant manifolds of the Birkhoff billiard map are open subsets of
hyperelliptic Jacobians and that the restriction of the map to them is represented by translations (algebraic
addition laws).
On the other hand, there exists an infinite hierarchy of integrable generalizations of the ellipsoidal billiard.
They describe the motion inside Q in the force field of some basis polynomial potentials which are separable in
ellipsoidal coordinates. The simplest example is the billiard with the Hooke potential. An analog of the Chasles
theorem for the potentials billiards can be given.
One can also consider geodesic motion on the ellipsoid Q combined with elastic reflections along its intersections with a confocal quadric dQ .
We show that the algebraic-geometrical properties of the billiards with separable potentials and billiards on
Q with impacts along dQ are in sharp contrast with those of the Birkhoff case. Namely, their generic complex
invariant manifolds are not Abelian varieties, but open subsets of strata of hyperelliptic Jacobians. Although the
generalized billiard maps are integrable and all their first integrals are algebraic, in the complex coordinates they
are transcendental and infinitely many valued.
(In collaboration with S. Abenda (S.I.R.A.M, University of Bologna))
Der Vortrag findet statt um 16 Uhr c.t. im ZARM (Fallturm), Raum 1730.
Alle Interessierten sind herzlich eingeladen.
R.-E. Hoffmann als Kolloquiumsbeauftragter
Claus Lämmerzahl, Peter Richter und Eva-Maria Feichtner
Wintersemester 2010/11

Invitation_Math_Colloquium_with_Abstract_20101116
Einladung_Mathe-Kolloquium_mit_Abstract_20101116


 



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